Patterns and periodicity in a family of resultants

Étant donné un polynôme $f\left(x\right)\in \mathbb{Z}\left[x\right]$, unitaire de degré $N$, et un entier positif $\ell$, on peut définir un nouveau polynôme $f_{\ell }\left(x\right)\in \mathbb{Z}\left[x\right]$, unitaire de degré $N$, en élevant chaque racine de $f$ à la puissance $\ell$. Nous généralisons un lemme de Dobrowolski pour montrer que, si $m<n$ et $p$ est un nombre premier, alors $p^{N(m+1)}$ divise le réesultant de $f_{p^m}$ et $f_{p^n}$. Nous considérons alors la fonction $(j,k)\mapsto Res(f_j,f_k)mod{p}^m$. Nous montrons, pour $p$ et $m$ fixés, que cette fonction est périodique en $j$ et $k$, et exhibons un grand nombre de symétries. Une étude de la structure comme réunion de réseaux est également faite.

Given a monic degree $N$ polynomial $f\left(x\right)\in \mathbb{Z}\left[x\right]$ and a non-negative integer $\ell$, we may form a new monic degree $N$ polynomial $f_{\ell }\left(x\right)\in \mathbb{Z}\left[x\right]$ by raising each root of $f$ to the $\ell$th power. We generalize a lemma of Dobrowolski to show that if $m<n$ and $p$ is prime then $p^{N(m+1)}$ divides the resultant of $f_{p^m}$ and $f_{p^n}$. We then consider the function $(j,k)\mapsto Res(f_j,f_k)mod{p}^m$. We show that for fixed $p$ and $m$ that this function is periodic in both $j$ and $k$, and exhibits high levels of symmetry. Some discussion of its structure as a union of lattices is also given.