Poids de l’inertie modérée de certaines représentations cristallines
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 22 (2010) no. 1, p. 79-96

Tame inertia weights of certain crystalline representations

In this note we give a complete proof of Theorem 4.1 of [5], whose aim is to describe the action of tame inertia on the semi-simplification mod p of a certain (small) family of crystalline representations V of the absolute Galois group of a p-adic field K. This kind of computation was already accomplished by Fontaine and Laffaille when K is absolutely unramified; in that setting, they proved that the action of tame inertia is completely determined by the Hodge-Tate weights of V, provided that those weights all belong to an interval of length p-2. The examples considered in this article show in particular that the result of Fontaine-Laffaille is no longer true when K is absolutely ramified.

Le but de cette note est de donner une démonstration complète du théorème 4.1 de [5] qui a pour objet d’expliciter l’action de l’inertie modérée sur la semi-simplifiée modulo p d’une certaine famille (assez restreinte) de représentations cristallines V du groupe de Galois absolu d’un corps p-adique K. Lorsque K n’est pas absolument ramifié, le calcul de cette action a déjà été accompli par Fontaine et Laffaille qui ont montré qu’elle est entièrement déterminée par les poids de Hodge-Tate de V, au moins si ceux-ci appartiennent à un même intervalle d’amplitude p-2. Les exemples que l’on calcule dans cet article montrent en particulier que le résultat simple de Fontaine et Laffaille ne s’étend pas au cas absolument ramifié.

@article{JTNB_2010__22_1_79_0,
     author = {Caruso, Xavier and Savitt, David},
     title = {Poids de l'inertie mod\'er\'ee de certaines repr\'esentations cristallines},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux 1},
     volume = {22},
     number = {1},
     year = {2010},
     pages = {79-96},
     doi = {10.5802/jtnb.705},
     mrnumber = {2675874},
     zbl = {1223.14022},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/JTNB_2010__22_1_79_0}
}
Caruso, Xavier; Savitt, David. Poids de l’inertie modérée de certaines représentations cristallines. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 22 (2010) no. 1, pp. 79-96. doi : 10.5802/jtnb.705. http://www.numdam.org/item/JTNB_2010__22_1_79_0/

[1] C. Breuil, Représentations p-adiques semi-stables et transversalité de Griffiths. Math. Annalen 307 (1997), 191–224. | MR 1428871 | Zbl 0883.11049

[2] C. Breuil, Integral p-adic Hodge theory. Advanced studies in pure mathematics 36 (2002), 51–80. | MR 1971512 | Zbl 1046.11085

[3] C. Breuil, A. Mézard, Multiplicités modulaires et représentations de GL 2 ( p ) et de Gal( ¯ p / p ) en =p. Duke math. J. 115 (2002), 205–310. | MR 1944572 | Zbl 1042.11030

[4] X. Caruso, Représentations semi-stables de torsion dans le cas er<p-1. J. reine angew. Math. 594 (2006), 35–92. | MR 2248152 | Zbl 1134.14013

[5] X. Caruso, D. Savitt, Polygones de Hodge, de Newton et de l’inertie modérée des représentations semi-stables. À paraître dans Math. Ann. | Zbl pre05533125

[6] J. M. Fontaine, G. Laffaille, Construction de représentations p-adiques. Ann. Sci. École Norm. Sup. 15 (1982), 547–608. | Numdam | MR 707328 | Zbl 0579.14037

[7] N. Katz, Slope filtration of F-crystals. Astérisque 63 (1979), 113–164. | MR 563463 | Zbl 0426.14007