Construction de fractions continues périodiques uniformément bornées
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 25 (2013) no. 1, pp. 111-146.

Nous construisons, dans les corps quadratiques réels, une infinité de fractions continues périodiques uniformément bornées, avec une borne qui semble meilleure que celle connue jusqu’ici. Nous faisons cela en partant de développements en fractions continues de la même forme que ceux des réels n+n. Et ceci nous permet d’obtenir de plus qu’il existe une infinité de corps quadratiques contenant une infinité de développements en fractions continues périodiques formées seulement des entiers 1 et 2. Nous montrons aussi qu’une conjecture de Zaremba implique une conjecture de McMullen, en construisant des fractions continues périodiques à partir de développements en fractions continues de rationnels.

We build, for real quadratic fields, infinitely many periodic continuous fractions uniformly bounded, with a seemingly better bound than the known ones. We do that using continuous fraction expansions with the same shape as those of real numbers n+n. It allows us to obtain that there exist infinitely many quadratic fields containing infinitely many continuous fraction expansions formed only by integers 1 and 2. We also prove that a conjecture of Zaremba implies a conjecture of McMullen, building periodic continuous fractions from continous fraction expansions of rational numbers.

DOI : 10.5802/jtnb.829
Mercat, Paul 1

1 Université Paris-Sud 11 91405 Orsay
@article{JTNB_2013__25_1_111_0,
     author = {Mercat, Paul},
     title = {Construction de fractions continues p\'eriodiques uniform\'ement born\'ees},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {111--146},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
     volume = {25},
     number = {1},
     year = {2013},
     doi = {10.5802/jtnb.829},
     zbl = {1272.11019},
     mrnumber = {3063834},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.829/}
}
TY  - JOUR
AU  - Mercat, Paul
TI  - Construction de fractions continues périodiques uniformément bornées
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2013
SP  - 111
EP  - 146
VL  - 25
IS  - 1
PB  - Société Arithmétique de Bordeaux
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.829/
DO  - 10.5802/jtnb.829
LA  - fr
ID  - JTNB_2013__25_1_111_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Mercat, Paul
%T Construction de fractions continues périodiques uniformément bornées
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2013
%P 111-146
%V 25
%N 1
%I Société Arithmétique de Bordeaux
%U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.829/
%R 10.5802/jtnb.829
%G fr
%F JTNB_2013__25_1_111_0
Mercat, Paul. Construction de fractions continues périodiques uniformément bornées. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 25 (2013) no. 1, pp. 111-146. doi : 10.5802/jtnb.829. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.829/

[BK] J. Bourgain & A. Kontorovich, On Zaremba’s conjecture. ArXiv :1107.3776v1 [math.NT], 2011. | MR | Zbl

[Bu] Y. Bugeaud, Approximation by algebraic numbers. Cambridge Tracts in Mathematics, 160, Cambridge University Press, 2004. | MR | Zbl

[HP] G. Hardy & E. Wright, An introduction to the theory of numbers. Oxford Mathematics, 2008. | MR | Zbl

[JP] O. Jenkinson & M. Pollicott, Computing the dimension of dynamically defined sets I : E 2 and bounded continued fractions. Erg. Theo. Dyn. Syst. 21 (2001), 1429–1445. | MR | Zbl

[McM] C. T. McMullen, Uniformly Diophantine numbers in a fixed real quadratic field. Compositio Math., 145 (2009), no. 04, 827–844. | MR | Zbl

[Per] O. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen. B.G. Teubner, 1913. | Zbl

[Schm] W. Schmidt, Diophantine approximation, Lecture Note in Maths 785, Springer, 1980. | MR | Zbl

[Wil] S. M. J. Wilson, Limit points in the Lagrange spectrum of a quadratic field. Bull. S.M.F, 108 (1980), 137–141. | Numdam | MR | Zbl

Cité par Sources :