Algebraic independence of the generating functions of Stern’s sequence and of its twist
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 25 (2013) no. 1, pp. 43-57.

Très récemment, la fonction génératrice A(z) de la suite (a n ) n0 de Stern, définie par a 0 :=0,a 1 :=1, et a 2n :=a n ,a 2n+1 :=a n +a n+1 pour tout entier n>0, a été considérée du point de vue arithmétique. Coons [8] a montré la transcendance de A(α) pour tout α algébrique avec 0<|α|<1, et ce résultat fut généralisé dans [6] de sorte que, pour les mêmes α, les nombres A(α),A (α),A (α),... sont algébriquement indépendants. À peu près au même temps, Bacher [4] a étudié la version tordue (b n ) de la suite de Stern, définie par b 0 :=0,b 1 :=1, et b 2n :=-b n ,b 2n+1 :=-(b n +b n+1 ) pour tout n>0.

Les objectifs principaux du présent travail sont d’établir les analogues sur la fonction génératrice B(z) de (b n ) des résultats arithmétiques mentionnés plus haut concernant A(z), de démontrer l’indépendance algébrique de A(z),B(z) sur le corps (z), d’utiliser ce fait pour en déduire que, pour tout nombre complexe α avec 0<|α|<1, le degré de transcendance du corps (α,A(α),B(α)) sur est au moins 2, et de fournir des majorations assez bonnes pour l’exposant d’irrationalité de A(r/s) et de B(r/s), où r,s sont des entiers avec 0<|r|<s et (log|r|)/(logs) suffisamment petit.

Very recently, the generating function A(z) of the Stern sequence (a n ) n0 , defined by a 0 :=0,a 1 :=1, and a 2n :=a n ,a 2n+1 :=a n +a n+1 for any integer n>0, has been considered from the arithmetical point of view. Coons [8] proved the transcendence of A(α) for every algebraic α with 0<|α|<1, and this result was generalized in [6] to the effect that, for the same α’s, all numbers A(α),A (α),A (α),... are algebraically independent. At about the same time, Bacher [4] studied the twisted version (b n ) of Stern’s sequence, defined by b 0 :=0,b 1 :=1, and b 2n :=-b n ,b 2n+1 :=-(b n +b n+1 ) for any n>0.

The aim of our paper is to show the analogs on the generating function B(z) of (b n ) of the above-mentioned arithmetical results on A(z), to prove the algebraic independence of A(z),B(z) over the field (z), to use this fact to conclude that, for any complex α with 0<|α|<1, the transcendence degree of the field (α,A(α),B(α)) over is at least 2, and to provide rather good upper bounds for the irrationality exponent of A(r/s) and B(r/s) for integers r,s with 0<|r|<s and sufficiently small (log|r|)/(logs).

DOI : 10.5802/jtnb.824
Bundschuh, Peter 1 ; Väänänen, Keijo 2

1 Mathematisches Institut Universität zu Köln Weyertal 86-90 50931 Köln, Germany
2 Department of Mathematical Sciences University of Oulu P. O. Box 3000 90014 Oulu, Finland
@article{JTNB_2013__25_1_43_0,
     author = {Bundschuh, Peter and V\"a\"an\"anen, Keijo},
     title = {Algebraic independence of the generating functions of {Stern{\textquoteright}s} sequence and of its twist},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     pages = {43--57},
     publisher = {Soci\'et\'e Arithm\'etique de Bordeaux},
     volume = {25},
     number = {1},
     year = {2013},
     doi = {10.5802/jtnb.824},
     zbl = {1268.11096},
     mrnumber = {3063829},
     language = {en},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.824/}
}
TY  - JOUR
AU  - Bundschuh, Peter
AU  - Väänänen, Keijo
TI  - Algebraic independence of the generating functions of Stern’s sequence and of its twist
JO  - Journal de théorie des nombres de Bordeaux
PY  - 2013
SP  - 43
EP  - 57
VL  - 25
IS  - 1
PB  - Société Arithmétique de Bordeaux
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.824/
DO  - 10.5802/jtnb.824
LA  - en
ID  - JTNB_2013__25_1_43_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Bundschuh, Peter
%A Väänänen, Keijo
%T Algebraic independence of the generating functions of Stern’s sequence and of its twist
%J Journal de théorie des nombres de Bordeaux
%D 2013
%P 43-57
%V 25
%N 1
%I Société Arithmétique de Bordeaux
%U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.824/
%R 10.5802/jtnb.824
%G en
%F JTNB_2013__25_1_43_0
Bundschuh, Peter; Väänänen, Keijo. Algebraic independence of the generating functions of Stern’s sequence and of its twist. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 25 (2013) no. 1, pp. 43-57. doi : 10.5802/jtnb.824. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.824/

[1] B. Adamczewski and T. Rivoal, Irrationality measures for some automatic real numbers. Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 147 (2009), 659–678. | MR | Zbl

[2] J.-P. Allouche, On the Stern sequence and its twisted version. Integers 12 (2012), A58. | MR

[3] M. Amou, Algebraic independence of the values of certain functions at a transcendental number. Acta Arith. 59 (1991), 71–82. | MR | Zbl

[4] R. Bacher, Twisting the Stern sequence. Preprint, 2010, available at http://arxiv.org/abs/1005.5627

[5] Y. Bugeaud, On the rational approximation to the Thue-Morse-Mahler numbers. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 61 (2011), 2065–2076. | Numdam | MR

[6] P. Bundschuh, Transcendence and algebraic independence of series related to Stern’s squence. Int. J. Number Theory 8 (2012), 361–376. | MR

[7] F. Carlson, Über Potenzreihen mit ganzen Koeffizienten. Math. Z. 9 (1921), 1–13. | MR

[8] M. Coons, The transcendence of series related to Stern’s diatomic sequence. Int. J. Number Theory 6 (2010), 211–217. | MR | Zbl

[9] P. Corvaja and U. Zannier, Some new applications of the subspace theorem. Compos. Math. 131 (2002), 319–340. | MR | Zbl

[10] K. K. Kubota, On the algebraic independence of holomorphic solutions of certain functional equations and their values. Math. Ann. 227 (1977), 9–50. | MR | Zbl

[11] K. Mahler, Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen. Math. Ann. 101 (1929), 342–366. | MR

[12] Ke. Nishioka, A note on differentially algebraic solutions of first order linear difference equations. Aequationes Math. 27 (1984), 32–48. | MR | Zbl

[13] Ku. Nishioka, New approach in Mahler’s method. J. Reine Angew. Math. 407 (1990), 202–219. | MR | Zbl

[14] Ku. Nishioka, Mahler Functions and Transcendence, Lecture Notes in Math. 1631. Springer, Berlin, 1996. | MR | Zbl

[15] M. A. Stern, Über eine zahlentheoretische Funktion. J. Reine Angew. Math. 55 (1858), 193–220. | Zbl

Cité par Sources :