En partant des idées de Rosenbloom [7] et Hayman [5], Luis Báez-Duarte donne dans [1] une preuve probabiliste de la formule asymptotique de Hardy-Ramanujan pour les partitions d’un entier. Le principe général de la méthode repose sur la convergence en loi d’une famille de variables aléatoires vers la loi normale. Dans notre travail nous démontrons un théorème de type Liapounov (Chung [2]) qui justifie cette convergence. L’obtention de formules asymptotiques simples nécessite une condition dite Gaussienne forte énoncée par Luis Báez-Duarte, que nous démontrons dans une situation permettant d’obtenir une formule asymptotique classique pour les partitions d’un entier en entiers distincts (Erdös-Lehner [4], Ingham [6]).
Following the ideas of Rosenbloom [7] and Hayman [5], Luis Báez-Duarte gives in [1] a probabilistic proof of Hardy-Ramanujan’s asymptotic formula for the partitions of an integer. The main principle of the method relies on the convergence in law of a family of random variables to a gaussian variable. In our work we prove a theorem of the Liapounov type (Chung [2]) that justifies this convergence. To obtain simple asymptotic formulæ a condition of the so-called strong Gaussian type defined by Luis Báez-Duarte is required; we demonstrate this in a situation that make it possible to obtain a classical asymptotic formula for the partitions of an integer with distinct parts (Erdös-Lehner [4], Ingham [6]).
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Candelpergher, Bernard; Miniconi, Michel. Une étude asymptotique probabiliste des coefficients d’une série entière. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 26 (2014) no. 1, pp. 45-67. doi : 10.5802/jtnb.858. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/jtnb.858/
[1] L. Báez-Duarte, Hardy-Ramanujan’s Asymptotic Formula for Partitions and the Central Limit Theorem. Advances in Math. 125 (1997), 114–120. | MR | Zbl
[2] K. L. Chung, A Course in Probability Theory, 3rd ed.. Academic Press, 2001. | MR | Zbl
[3] H. Cramér, Random Variables and Probability Distributions, 2nd ed.. Cambridge University Press, 1963. | MR | Zbl
[4] P. Erdös, J. Lehner, The Distribution of the Number of Summands in the Partitions of a Positive Integer. Duke Math. J. 8, 2 (1982), 335–345. | MR
[5] W. K. Hayman, A Generalisation of Stirling’s Formula. J. Reine Angew. Math. 196, 1/2 (1956), 67–95. | Zbl
[6] A. E. Ingham, A Tauberian Theorem for Partitions. Ann. of Math., 2nd series 42, 5 (1941), 1075–1090. | MR | Zbl
[7] P. C. Rosenbloom, Probability and Entire Functions. Studies in Math. Analysis and Related Topics, Essays in Honor of G. Pólya, 45 (1962), 325–332. | MR | Zbl
Cité par Sources :
