Enrichissement des interpolations d'éléments finis en utilisant des méthodes sans maillage
ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis - Modélisation Mathématique et Analyse Numérique, Volume 36 (2002) no. 6, p. 1027-1042

In the framework of meshless methods, the interpolation is based on a distribution of particles: it is not necessary to define connectivities. In these methods the interpolation can be easily enriched, increasing the number of particles (as in h-refinement of finite elements) or increasing the order of consistency (as in p-refinement of finite elements). However, comparing with finite elements, particle methods suffer from an increase in the computational cost, mainly due to the computation of the shape functions. In this paper, a mixed interpolation that combines finite elements and particles is presented. The objective is to take advantage of both methods. In order to define h-p refinement strategies an a priori error estimate is needed, and thus, some convergence results are presented and proved for this mixed interpolation.

Les méthodes sans maillage emploient une interpolation associée à un ensemble de particules : aucune information concernant la connectivité ne doit être fournie. Un des atouts de ces méthodes est que la discrétisation peut être enrichie d’une façon très simple, soit en augmentant le nombre de particules (analogue à la stratégie de raffinement h), soit en augmentant l’ordre de consistance (analogue à la stratégie de raffinement p). Néanmoins, le coût du calcul des fonctions d’interpolation est très élevé et ceci représente un inconvénient vis-à-vis des éléments finis. Cet article présente une interpolation mixte éléments finis-particules qui résulte de la généralisation de plusieurs travaux dans ce domaine. La formulation de cette interpolation mixte est valable pour n’importe quel ordre de consistance. Dans ce contexte, on énonce un estimateur d’erreur a priori dont la démonstration se base dans les propriétés de l’interpolation mixte. Ce résultat permet d’étudier la convergence de la méthode d’enrichissement et d’établir les stratégies de raffinement de l’interpolation qui permettent d’atteindre une solution avec une précision satisfaisante.

DOI : https://doi.org/10.1051/m2an:2003004
Classification:  65N15,  65N50,  65N30
Keywords: adaptivité, raffinement h-p, éléments finis, méthodes sans maillage, méthodes particulaires, interpolation mixte, convergence 
@article{M2AN_2002__36_6_1027_0,
     author = {Huerta, Antonio and Fern\'andez-M\'endez, Sonia and D\'\i ez, Pedro},
     title = {Enrichissement des interpolations d'\'el\'ements finis en utilisant des m\'ethodes sans maillage},
     journal = {ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis - Mod\'elisation Math\'ematique et Analyse Num\'erique},
     publisher = {EDP-Sciences},
     volume = {36},
     number = {6},
     year = {2002},
     pages = {1027-1042},
     doi = {10.1051/m2an:2003004},
     zbl = {1042.65085},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/M2AN_2002__36_6_1027_0}
}

Huerta, Antonio; Fernández-Méndez, Sonia; Díez, Pedro. Enrichissement des interpolations d'éléments finis en utilisant des méthodes sans maillage. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis - Modélisation Mathématique et Analyse Numérique, Volume 36 (2002) no. 6, pp. 1027-1042. doi : 10.1051/m2an:2003004. http://www.numdam.org/item/M2AN_2002__36_6_1027_0/

[1] T. Belytschko, Y.Y. Lu et L. Gu, Element-free Galerkin methods. Internat. J. Numer. Methods Engrg. 37 (1994) 229-256. | Zbl 0796.73077

[2] T. Belytschko et D. Organ, Element-free Galerkin methods for dynamic fracture in concrete. D.R.J. Owen, E. Oñate and E. Hilton Eds., Comp. Plasticity. Fundamentals and Applications (1997) 304-321.

[3] T. Belytschko, D. Organ et Y. Krongauz, A coupled finite element-free Galerkin method. Comput. Mech. 17 (1995) 186-195. | Zbl 0840.73058

[4] T. Belytschko et M. Tabbara, Dynamic fracture using element-free Galerkin methods. Internat. J. Numer. Methods Engrg. 39 (1996) 923-938. | Zbl 0953.74077

[5] P. Breitkopf, G. Touzot et P. Villon, Consistency approach and diffuse derivation in element-free methods based on moving least squares approximation. Comput. Assist. Mech. Eng. Sci. 5 (1998) 479-501. | Zbl 0974.74080

[6] P. Breitkopf, A. Rassineux, G. Touzon et P. Villon, Explicit form and efficient computation of MLS shape functions and their derivatives. Internat. J. Numer. Methods Engrg. 48 (2000) 451-466. | Zbl 0965.65015

[7] P. Díez, M. Arroyo et A. Huerta, Adaptivity based on error estimation for viscoplastic softening materials. Mechanics of Cohesive-Frictional Materials 5 (2000) 87-112.

[8] D. Hegen, Element-free Galerkin methods in combination with finite element approaches. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 135 (1996) 143-166. | Zbl 0893.73063

[9] A. Huerta et P. Díez, Error estimation including pollution assessment for nonlinear finite element analysis. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 180 (2000) 21-41. | Zbl 0964.74067

[10] A. Huerta, A. Rodríguez-Ferran, P. Díez et J. Sarrate, Adaptive finite element strategies based on error analysis. Internat. J. Numer. Meth. Engrg. 46 (1999) 1803-1818. | Zbl 0968.74066

[11] A. Huerta et S. Fernández-Méndez, Enrichment and coupling of the finite element and meshless methods. Internat. J. Numer. Methods Engrg. 48 (2000) 1615-1636. | Zbl 0976.74067

[12] S. Kulasegaram et J. Bonet, Corrected smooth particle hydrodynamics method for metal forming simulations. J. Huétink and F.P.T. Baaijens Eds., Simulation of Materials Processing : Theory, Methods and Applications (1998) 137-142.

[13] W.K. Liu et Y. Chen, Wavelet and multiple scale reproducing kernel methods. Internat. J. Numer. Methods Fluids 21 (1995) 901-931. | Zbl 0885.76078

[14] W.K. Liu, S. Jun et Y.F. Zhang, Reproducing kernel particle methods. Internat. J. Numer. Methods Fluids 20 (1995) 1081-1106. | Zbl 0881.76072

[15] W.K. Liu, S. Li et T. Belytschko, Moving least square reproducing kernel methods. (I) Methodology and convergence. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 143 (1996) 113-154. | Zbl 0883.65088

[16] W.K. Liu, R.A. Uras et Y. Chen, Enrichment of the finite element method with reproducing kernel particle method. J. Appl. Mech. 64 (1997) 861-870. | Zbl 0920.73366

[17] Y.Y. Lu, T. Belytschko et L. Gu, A new implementation of the element free Galerkin method. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 113 (1994) 397-414. | Zbl 0847.73064

[18] B. Nayroles, G. Touzot et P. Villon, Generalizing the finite element method : diffuse approximation and diffuse elements. Comput. Mech. 10 (1992) 307-318. | Zbl 0764.65068

[19] D. Organ, M. Fleming, T. Terry et T. Belytschko, Continuous meshless approximations for nonconvex bodies by diffraction and transparency. Comput. Mech. 18 (1996) 225-235. | Zbl 0864.73076

[20] J.P. Vila, On particle weighted methods and smooth particle hydrodynamics. Math. Models Methods Appl. Sci. 9 (1999) 161-209. | Zbl 0938.76090

[21] P. Villon, Contribution à l'optimisation. Thèse d'état, Université Technologique de Compiègne (1991).