Sur les treillis de Coxeter finis

Le Conte de Poly-Barbut, C.

Mathématiques informatique et sciences humaines, Tome 125 (1994), pp. 41-57.

Björner (1984) a montré que l’ordre faible de Bruhat défini sur un groupe de Coxeter fini (Bourbaki 1969) est un treillis. Dans le cas du groupe symétrique $Sn$ ce résultat (treillis permutoèdre) a été prouvé par Guilbaud-Rosenstiehl (1963). Dans ce papier nous montrons que des propriétés connues des treillis permutoèdres peuvent s’étendre à tous les treillis de Coxeter finis et qu’inversement des propriétés démontrées sur tous les Coxeter finis ont des retombées intéressantes sur les permutoèdres. En particulier, les Coxeter finis sont tous pseudo-complémentés et ont une congruence dont le quotient est une algèbre de Boole. Le résultat de Solomon sur une sous-algèbre de l’algèbre de groupe concerne cette même congruence. Dans le cas du permutoèdre l’équivalence «même premier tableau de Young» est une sous-équivalence de celle associée à la congruence. Nous montrons également que les treillis de Coxeter sont semi-distributifs.

On finite Coxeter lattices. Björner (1984) has pointed out that the weak Bruhat order of a finite Coxeter group (Bourbaki, 1969) is a lattice. In the case of the symmetric group Sn, this result (permutohedron lattice) was proved by Guilbaud-Rosenstiehl (1963). In this paper we show that several known properties of the permutohedron lattices hold for any Coxeter lattice. Especially we will show that Coxeter lattices are pseudo complemented, so that any Coxeter lattice has a congruence whose quotient is a boolean algebra. Solomon's result (1976) on a subalgebra of the group algebra concerns the same congruence. In the case of the permutohedron the equivalence “same first Young's tableau” is a subequivalence of that equivalence associated with the congruence Using the pseudo complementation and an isomorphism property of intervals we will show that Coxeter lattices are semi distributive. Properties that hold for every Coxeter lattice are especially interesting in the permutohedron case.

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