Quasi-ensembles d’ordre $r$ et approximations de répartitions ordonnées

Serfati, Michel

Mathématiques informatique et sciences humaines, Tome 143 (1998), pp. 5-26.

Sur le plan mathématique, la théorie des $r$-répartitions ordonnées traite d’une extension du concept d’ «ensemble des parties d’un ensemble», sous la forme d’un treillis distributif complet. Quant à l’interprétation, on peut considérer chaque $r$-répartition comme la distribution exhaustive à tous les éléments d’un ensemble $\Omega$, d’un certain caractère (ou qualité), selon $r$ points de vue, les points de vue formant un ensemble totalement ordonné. Cet article traite exclusivement de l’établissement d’une distance $d$ sur l’ensemble ${𝒫}_r\left(\Omega \right)$ de toutes les $r$-répartitions de $\Omega$, et de l’approximation, au sens de la métrique $d$, d’une $r$-répartition quelconque $P$ par ceux des sous-ensembles qui lui sont le plus proches. On peut alors considérer que l’un quelconque de ceux-ci est susceptible de venir remplacer $P$, et on interprète ce remplacement comme le résultat d’une procédure décisionnelle terminale.

From a mathematical viewpoint, the theory of $r$-ordered partitions deals with some extension of the concept of «power set», by the mean of a complete distributive lattice. As to interpretation, one may consider each $r$-partition as the exhaustive distribution of some character (or quality) to all the elements of some set $\Omega$, according to $r$ viewpoints, the viewpoints forming a chain (linearly ordered set). This paper deals uniquely with the establishing of some distance $d$ on the set ${𝒫}_r\left(\Omega \right)$ of all the $r$-partitions of $\Omega$, and also of the approximation of any given $r$-ordered partition $P$ by the subsets of $\Omega$ which are the nearest to $P$, according to the metric $d$. Any of these subsets may then be considered as convenient for replacing $P$, and one may interpret this replacement as the result of some terminal decision.

[1] Birkhoff G., Lattice theory, Providence, American Mathematical Society Colloquium Publications, XXV,1940 (Edition 1967). | MR | Zbl

[2] Epstein G., «The lattice theory of Post algebras», Trans. Amer. Math. Soc., 95, (1960), 300-317. | MR | Zbl

[3] Halmos P., Measure Theory, Berlin, Springer-Verlag,1974. | Zbl

[4] Monjardet B. et Chameni Nembua C., «Les treillis pseudo-complémentés finis», European J. of Combinatorics, 13, 1992, 89-107. | MR | Zbl

[5] Serfati M., « Introduction aux Algèbres de Post et à leurs applications (logiques à r valeurs - équations postiennnes-graphoïdes orientés) », Cahiers du Bureau Universitaire de Recherche Opérationnelle.Université Paris VI. Série Recherche, 21, (1973). | EuDML | Numdam

[6] Serfati M., «On postian algebraic equations», Discrete Mathematics, 152, (1996) 269-285. | MR | Zbl

[7] Serfati M., «A note on postian matrix theory», International Journal of Algebra and Computation., 7(2), (1997), 161-179. | MR | Zbl

[8] Serfati M., «The lattice theory of r-ordered partitions », à paraître (1998) dans Discrete Mathematics. | MR | Zbl