L'analyse implicative bayésienne multivariée d'un questionnaire binaire : quasi-implications et treillis de Galois simplifié

Bernard, Jean-Marc; Poitrenaud, Sébastien

Mathématiques informatique et sciences humaines, Tome 147 (1999), pp. 25-46.

Nous proposons une nouvelle méthode pour simplifier le treillis de Galois associé à un questionnaire binaire (n individus classés selon q questions binaires), méthode basée sur l’affaiblissement des implications portées par le treillis en quasi-implications. Au niveau descriptif, la méthode proposée fait intervenir un nouvel indice pour la mesure des quasi-implications (l’«indice implicatif multivarié») qui satisfait certaines conditions d’invariance par équivalence logique. Au niveau inductif, l’incertitude sur les fréquences vraies des profils est exprimée par un «modèle Dirichlet imprécis». Ce modèle répond aux difficultés des modèles bayésiens usuels fondés sur une distribution de Dirichlet unique, notamment pour le cas où n est petit devant $2^q$. Un aspect important de la méthode est que les résumés descriptif et inductif qu’elle fournit constituent des treillis de Galois, versions simplifiées du treillis initial.

We propose a new method for simplifying the Galois lattice associated to a binary questionnaire (n units classified according to q binary questions). The method consists in weakening the implications borne by the lattice into quasi-implications. At the descriptive level, the method involves a new measure for quasi-implications (the “multivariate implicative index”) which satisfies some requirements of invariance by logical equivalence. At the inductive level, uncertainty about the patterns’ true frequencies is expressed by an imprecise-Dirichlet model. This model is shown to have several advantages over the usual non-informative Bayesian approach based on a single Dirichlet prior, especially for the case where n is small in comparison to $2^q$. An important feature of the method is that it provides two implicative summaries, descriptive and inductive, which both constitute simplified versions of the initial Galois lattice.

Barbut, M., Monjardet, B. (1970), Ordre et classification, Algèbre et combinatoire, Tome 2, Paris: Hachette. | Zbl

Bernard, J.-M. (1996), "Bayesian Interpretation of Frequentist Procedures for a Bernoulli Process", The American Statistician, 50, 7-13.

Bernard, J.-M. (1997), "Bayesian Analysis of Tree-Structured Categorized Data", Revue Internationale de Systémique, 11, 11-29. | Zbl

Bernard, J.-M. (1998), "Bayesian Inference for Categorized Data", In New Ways in Statistical Methodology, par H. Rouanet et al. (1998), Berne: Peter Lang, à paraître. | MR

Bernard, J.-M., Charron, C. (1996a), "L'Analyse implicative bayésienne : une méthode pour l'étude des dépendances orientées. I : Données binaires", Mathématiques, Informatique et Sciences humaines, 134, 5-38. | Numdam | Zbl

Bernard, J.-M., Charron, C. (1996b), "L'Analyse implicative bayésienne : une méthode pour l'étude des dépendances orientées. II : Modèle logique sur un tableau de contingence", Mathématiques, Informatique et Sciences humaines, 135, 5-18. | Numdam | Zbl

Bordat, (1986), "Calcul pratique du treillis de Galois d'une correspondance", Mathématiques et Sciences humaines, 96, 31-47. | Numdam | Zbl

Degenne, A. (1972), Techniques ordinales en analyse des données, Paris: Hachette. | MR

Duquenne, V. (1987), "Contextual implications between attributes and some representation properties for finite lattices", In Beiträge zur Begriffsanalyse, Ganter, Wille, Wolf (eds), Mannheim: Wissenschaftsverlag, 213-239. | MR

Duquenne, V. (1992a), "GLAD (General Lattice Analysis & Design), a Fortran program for a GLAD user", MSH - Maison Suger, Paris.

Duquenne, V. (1992b), "On associations between handicaps", preprint P. 068 CAMS-EHESS, Paris.

Duquenne, V. (1996), "On Lattice Approximations : Syntactic Aspects ", Social Networks, 18, 189-199.

Flament, C. (1966), "L'analyse booléenne de questionnaires", Mathématiques et Sciences humaines, 12, 3-10. | Numdam

Flament, C. (1976), L'analyse booléenne de questionnaires, Paris: Mouton. | MR

Ganter, B. (1995), "Lattice Theory and Formal Concept Analysis - a Subjective Introduction -", In Lattice Theory and its Applications, K. A. Baker and R. Wille (eds), Helderman Verlag, 79-90. | MR | Zbl

Gelman, A., Carlin, J.B., Stern, H.S., Rubin, D.B. (1995), Bayesian Data Analysis, London: Chapman & Hall. | MR | Zbl

Guénoche, A. (1990), "Construction du treillis de Galois d'une relation binaire", Mathématiques, Informatique et Sciences humaines, 109, 41-53. | Numdam | MR | Zbl

Guénoche, A., Van Mechelen, I. (1993), "Galois Approach to the Induction of Concepts ", In Categories and Concepts : Theoretical Views and Inductive Data Analysis, I. Van Mechelen et al. (eds.), Academic Press, 287-308.

Guigues, J.-L., Duquenne, V. (1986), "Familles minimales d'implications informatives résultant d'un tableau de données binaires", Mathématiques et Sciences humaines, 95, 5-18. | Numdam | MR

Guttman, L. (1944), "A Basis for Scaling Qualitative Data", American Sociological Review, 9, 139-150. | MR

Haldane, J.B.S. (1948), "The Precision of Observed Values of Small Frequencies," Biometrika, 35, 297-300. | MR | Zbl

Hildebrand, D.K., Laing, J.D., Rosenthal, H. (1977), Prediction Analysis of Cross Classifications, New-York: Wiley. | MR | Zbl

Jeffreys, H. (1961), Theory of Probability, 3rd ed., Oxford: Clarendon Press. | MR | Zbl

Kendall, M.G., Stuart, A. (1973), The Advanced Theory of Statistics, Vol. 2 : Inference and Relationship, 3ème ed., London: Griffin. | MR | Zbl

Loevinger, J. (1948), "The Technic of Homogeneous Tests Compared with some Aspects of Scale Analysis and Factor Analysis", Psychological Bulletin, 45, 507-530.

Luxenburger, M. (1991), "Implications partielles dans un contexte", Mathématiques, Informatique et Sciences humaines, 113, 35-55. | Numdam | MR | Zbl

Perks, F.J.A. (1947), "Some Observations on Inverse Probability Including a New Indifference Rule", Journal of the Institute of Actuaries, 73, 285-334. | MR | Zbl

Poitrenaud, S. (1995), "The Procope Semantic Network : an alternative to action grammars", International Journal of Human-Computer Studies, 42, 31-69.

Poitrenaud, S. (1998), La Représentation des PROCédures chez l'OPErateur : Description et Mise en Oeuvre des Savoir-faire, Thèse de l'Université de Paris VIII, Saint-Denis, Décembre 1998.

Rouanet, H., Bernard, J.-M., Le Roux, B. (1990), Statistique en Sciences Humaines : Analyse Inductive des Données, Paris: Dunod.

Rouanet, H., Lecoutre, M.-P., Bert, M.-C., Lecoutre, B., Bernard, J.-M. (1998), New Ways in Statistical Methodology, Berne: Peter Lang, à paraître. | MR | Zbl

Walley, P. (1991), Statistical Reasoning with Imprecise Probabilities, Monographs on Statistics and Applied Probability 42, London: Chapman & Hall. | MR | Zbl

Walley, P. (1996), "Inferences from Multinomial Data : Learning about a Bag of Marbles", Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 58, 3-57. | MR | Zbl

Walley, P., Bernard, J.-M. (1998), "Imprecise Probabilistic Prediction for Categorical Data", soumis pour publication.

Wille, R. (1982), "Restructuring Lattice Theory : an Approach Based on Hierarchies of Concepts", In Symp. Ordered Sets (I. Rival, ed.), Dordrecht -Boston: Reidel, 445-470. | MR | Zbl

Wille, R. (1989), "Lattices in data analysis : how to draw them with a computer", In Algorithms and order (I. Rival, ed.), Dordrecht- Boston: Kluwer, 33-58. | MR