Let be an -dimensional algebraic variety over a field of characteristic zero. We describe algebraically defined Deligne -motives , , and which generalize the classical Albanese and Picard varieties of a smooth projective variety. We compute Hodge, -adic and De Rham realizations proving Deligne’s conjecture for , , and . We investigate functoriality, universality, homotopical invariance and invariance under formation of projective bundles. We compare our cohomological and homological -motives for normal schemes. For proper schemes, we obtain an Abel-Jacobi map from the (Levine-Weibel) Chow group of zero cycles to our cohomological Albanese -motive which is the universal regular homomorphism to semi-abelian varieties. By using this universal property we get “motivic” Gysin maps for projective local complete intersection morphisms.
Soit une variété algébrique de dimension sur un corps de caractéristique . Nous décrivons les -motifs de Deligne , , et définis algébriquement, qui généralisent les variétés d’Albanese et de Picard classiques d’une variété projective lisse. Nous calculons les réalisations de Hodge, -adique et de De Rham, montrant ainsi la conjecture de Deligne pour , , et . Nous étudions la fonctorialité, l’universalité, l’invariance par homotopie et l’invariance par formation de fibrés projectifs. Nous comparons nos -motifs homologiques et cohomologiques pour les schémas normaux. Pour des schémas propres, nous obtenons une application d’Abel-Jacobi du groupe de (Levine-Weibel) Chow des zéro-cycles vers notre -motif cohomologique d’Albanese, qui est l’homomorphisme universel régulier vers les variétés semi-abéliennes. En utilisant cette propriété universelle, nous obtenons des applications de Gysin « motiviques » pour les morphismes projectifs localement intersection complète.
Keywords: Hodge theory, motives, algebraic cycles, singularities
Mot clés : Théorie de Hodge, motifs, cycles algébriques, singularités
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TY - BOOK AU - Barbieri-Viale, Luca AU - Srinivas, Vasudevan TI - Albanese and Picard $1$-motives T3 - Mémoires de la Société Mathématique de France PY - 2001 IS - 87 PB - Société mathématique de France UR - http://archive.numdam.org/item/MSMF_2001_2_87__1_0/ DO - 10.24033/msmf.400 LA - en ID - MSMF_2001_2_87__1_0 ER -
Barbieri-Viale, Luca; Srinivas, Vasudevan. Albanese and Picard $1$-motives. Mémoires de la Société Mathématique de France, Serie 2, no. 87 (2001), 110 p. doi : 10.24033/msmf.400. http://numdam.org/item/MSMF_2001_2_87__1_0/
[1] On algebraic -motives related to Hodge cycles, preprint math.AG/0103179, 2001. | MR | Zbl
–[2] Roitman’s theorem for singular complex projective surfaces, Duke Math. J. 84, No. 1, (1996) 155–189. | MR | Zbl
, and –[3] Deligne’s conjecture on -motives, preprint math.AG/0102150, 2001. | MR | Zbl
, and –[4] On the Néron-Severi group of a singular variety, J. Reine Ang. Math. (Crelles Journal) 435 (1993) 65–82. | MR | EuDML | Zbl
and –[5] The Néron-Severi group and the mixed Hodge structure on , J. Reine Ang. Math. (Crelles Journal) 450 (1994) 37–42. | MR | EuDML | Zbl
and –[6] Albanese and Picard -motives, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, Série I (1998) 1397–1401. | MR | Zbl
and –[7] Topics in Algebraic Cycles, PhD Thesis, TIFR and University of Mumbai, 1997.
–[8] Roitman’s theorem for singular projective varieties, Compositio Math. 119 (1999) 213–237. | MR | Zbl
and –[9] A Lefschetz -Theorem for normal projective complex varieties, Duke Math. J. 101 (2000) 427–458. | MR | Zbl
and –[10] Schéma de Picard local, Springer LNM 632, 1978. | MR | Zbl
–[11] Néron Models, Springer Ergebnisse der Math. 21 Heidelberg, 1990. | MR | Zbl
, and –[12] The one-motif of an algebraic surface, Compositio Math. 56 (1985) 271–314. | MR | EuDML | Zbl | Numdam
–[13] Sur la théorie de la variété de Picard, American J. Math. 82 (1960) 435-490. | MR | Zbl
–[14] Equations différentielles à points singuliers réguliers, Springer LNM 163 Heidelberg, 1970. | MR | Zbl
–[15] Théorie de Hodge II, III Publ. Math. IHES 40 (1972) 5–57 and Publ. Math. IHES 44 (1974) 5–78. | MR | EuDML
–[16] A quoi servent les motifs ?, in “Motives” Proc. Symp. Pure Math AMS 55, Part 1, (1994) 143–161. | MR | JFM
–[17] Letter to H. Esnault, November 4, 1994.
–[18] Rélèvements modulo et décomposition du complexe de de Rham, Invent. Math. 89 (1987) 247–270. | MR | EuDML | Zbl
and –[19] The universal regular quotient of the Chow group of points on projective varieties, Inv. Math. 135 (1999) 595–664. | MR | Zbl
, and –[20] Lectures on vanishing theorems, Birkäuser DMV Seminar 20 Basel, 1992. | MR
and –[21] Intersection theory, Springer Ergebnisse der Math. 2 Heidelberg, 1984. | MR | Zbl
–[22] On the -theory of surfaces with multiple curves and a conjecture of Bloch, Duke Math. J. 51, No. 1, (1984) 195–233. | MR | Zbl
–[23] Technique de descente et théorèmes d’existence en géométrie algébrique I–VI, “Fondements de la Géométrie Algébrique” Extraits du Séminaire Bourbaki 1957/62. | Zbl | Numdam
–[24] SGA2 - Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux (1962), North-Holland, Amsterdam, 1968. | MR
et al. –[25] SGA4 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (1963-64), Springer LNM 269 270 305, Heidelberg, 1972-73.
et al. –[26] SGA6 - Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch (1966-67), Springer LNM 589, 1977.
et al. –[27] SGA7 - Groupes de monodromie en géométrie algébrique (1967-68), Springer LNM 288 340, 1972-73.
et al. –[28] Ample subvarieties of algebraic varieties, Springer LNM 156, 1970. | MR | EuDML | Zbl
–[29] On the De Rham cohomology of algebraic varieties, Publ. Math. IHES 45 (1976) 5–99. | MR | EuDML | Zbl | Numdam
–[30] Zero-cycles and complete intersections on singular varieties, J. Reine Ang. Math. (Crelles Journal) 359 (1985) 106–120. | MR | EuDML | Zbl
and –[31] Suslin homology and Deligne -motives, in “Algebraic -theory and algebraic topology” NATO ASI Series, 1993, 189–197. | MR | Zbl
–[32] Universal extensions and one dimensional crystalline cohomology, Springer LNM 370, 1974. | MR | Zbl
and –[33] Étale cohomology, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1980. | MR | Zbl
–[34] Biextensions of formal groups, International Colloquium on Algebraic Geometry (Bombay, 1968) Oxford University Press, 1969, 307–322. | MR
–[35] The topology of normal singularities on an algebraic surface and a criterion for simplicity, Publ. Math. IHES 9 (1961) 5-22. | MR | EuDML | Zbl | Numdam
–[36] On contravariant functors from the category of preschemes over a field into the category of abelian groups (with application to the Picard functor), Publ. Math. IHES 23 (1964) 581–619. | MR | EuDML | Zbl | Numdam
–[37] A construction of generalized Jacobian varieties by group extensions, Math. Annalen 147 (1962) 277–286. | MR | EuDML | Zbl
–[38] Commutative group schemes, Springer LNM 15, 1966. | MR | Zbl
–[39] Albanese and Picard -motives, Ph D Thesis (preliminary version, 1995).
–[40] Albanese and Picard one-motives of schemes, preprint, math.AG/9804042, 1998. | MR
–[41] A conjecture of Deligne on one-motives, preprint, math.AG/9806117, 1998.
–[42] Spécialisation du foncteur de Picard, Publ. Math. IHES 38 (1970) 27–76. | MR | EuDML | Zbl | Numdam
–[43] -motifs et monodromie géométrique, Exposé VII, Astérisque 223 (1994) 295–319. | MR | Zbl | Numdam
–[44] Mixed Hodge modules, Publ. RIMS Kyoto Univ. 26 (1990) 221–333. | MR | Zbl
–[45] Introduction to mixed Hodge modules, Astérisque, 179-180 (1989) 145-162. | MR | Zbl | Numdam
–[46] Torsion zero-cycles and étale homology of singular schemes, Duke Math. J. 64, No. 1, (1991) 71–83. | MR | Zbl
–[47] Morphismes universels et variétés d’Albanese, dans “Variétés de Picard” ENS Séminaire C. Chevalley 3e année: 1958/59. | EuDML | Numdam
–[48] Morphismes universels et différentielles de troisième espèce, dans “Variétés de Picard” ENS Séminaire C. Chevalley 3e année: 1958/59. | EuDML | Zbl | Numdam
–[49] Groupes algébriques et corps de classes, Hermann, Paris, 1959. | MR | Zbl
–[50] Algebraic Topology, McGraw-Hill, New York, 1966. | MR | Zbl
–[51] Cup products and mixed Hodge structures, preprint, math.AG/9902134, 1999. | Zbl
–[52] Singular homology of abstract algebraic varieties, Inv. Math. 123 (1996) 61–94. | MR | EuDML | Zbl
and –[53] Sur les jacobiennes des courbes à singularités ordinaires, Manuscripta Math. 92 (1997) 1-12. | MR | EuDML
–Cited by Sources: