Naturphilosophie and its role in Riemann's mathematics

Bottazzini, Umberto; Tazzioli, Rossana

Revue d'histoire des mathématiques, Tome 1 (1995) no. 1, pp. 3-38.

Dans cet article, nous proposons une lecture de certains mémoires et notes de Riemann à la lumière du point de vue « philosophique » qu'il a développé dans ses écrits sur la Naturphilosophie. Il apparaît que l'origine de nombreux travaux de Riemann, y compris l'Habilitationsvortrag de 1854 sur les fondements de la géométrie, peut être trouvée dans sa tentative d'explication unitaire des phénomènes naturels sur la base de son modèle de l'éther.

This paper sets out to examine some of Riemann's papers and notes left by him, in the light of the “philosophical” standpoint expounded in his writings on Naturphilosophie. There is some evidence that many of Riemann's works, including his Habilitationsvortrag of 1854 on the foundations of geometry, may have sprung from his attempts to find a unified explanation for natural phenomena, on the basis of his model of the ether.

Mots clés : ether theory, complex function theory, riemannian differential geometry

[1] Betti (E.) [Opere] Opere matematiche (Accademia dei Lincei, ed.), 2 vols., Milano: Hoepli, 1903-1913. | JFM

[2] Betti (E.) [1868] Sopra la elettrodinamica, Opere 2, pp. 242-245.

[3] Bianchi (L.) [Opere] Opere (Unione Matematica Italiana, ed.), 11 vols., Roma: Cremonese, 1952-1959. | Zbl

[4] Bottazzini (U.) [1985] Funzioni complesse e varietà multidimensionali: globale e locale nella matematica di B. Riemann, Scienza e filosofia: Saggi in onore di L. Geymonat (C. Mangione, ed.), Milano: Garzanti, 1985, pp. 554-573. | MR

[5] Bottazzini (U.) [1986] The higher calculus: a history of real and complex analysis from Euler to Weierstrass, New York: Springer, 1986. | MR | Zbl

[6] Bottazzini (U.) [1994] Geometry and “Metaphysics of space” in Gauss and Riemann, Romanticism in science (S. Poggi and M. Bossi, eds.), Dordrecht: Reidel, 1994, pp. 15-29.

[7] Bottazzini (U.) and Tazzioli (R.) [1991] Etere, spazio, geometria: riflessioni sui frammenti filosofici di Riemann, Conoscenza e matematica (L. Magnani, ed.), Milano: Marcos y Marcos, 1991, pp. 383-409.

[8] Brill (A.) and Noether (M.) [1894] Die Entwicklung der Theorie der algebraischen Funktionen in älterer und neuerer Zeit, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 3 (1894), pp. 107-565. | JFM

[9] Brillouin (L.) [1938] Les Tenseurs en mécanique et en élasticité, Paris: Masson, 1938. | JFM | Zbl

[10] Clausius (R.) [1868] Von Gauss angeregte neue Auffassung der elektrodynamischen Erscheinungen, Annalen der Physik und Chemie, 135 (1868), p. 606. | JFM

[11] Clifford (W.K.) [Papers] Mathematical papers (R. Tucker, ed.), London: Macmillan, 1882.

[12] Clifford (W.K.) [1876] On the space-theory of matter, Proceedings of the Cambridge philosophical Society, 2 (1876), pp. 157-58 (read Feb. 21, 1870); Papers, pp. 21-22.

[13] Clifford (W.K.) [1885] The common sense of the exact sciences (K. Pearson, ed.), London: Macmillan, 1885.

[14] Dedekind (R.) [1876] Bernhard Riemann's Lebenslauf, in [Riemann Werke, pp. 541-558].

[15] Dirichlet (P.G. Lejeune-) [Werke] Werke (L. Kronecker and L. Fuchs, eds.), 2 vols., Berlin: Mayer & Müller, 1889-1897. | Zbl

[16] Dirichlet (P.G. Lejeune-) [1837] Sur les séries dont le terme général dépend de deux angles, et qui servent à exprimer des fonctions arbitraires entre des limites données, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 17 (1837), pp. 35-56; Werke 1, pp. 273-306. | Zbl

[17] Dirichlet (P.G. Lejeune-) [1876] Vorlesungen über die im umgekehrten Verhältniss des Quadrats der Entfernung wirkenden Kräfte (F. Grube, ed.), Leipzig: Teubner, 1876. | JFM

[18] Faraday (M.) [1851] On the possible relation of gravity to electricity, Experimental researches in electricity, t. III, London, 1885, pp. 161-168.

[19] Faraday (M.) [1857] On the conservation of force, Experimental researches in chemistry and physics, London, 1859, pp. 443-463.

[20] Farwell (R.) and Knee (Ch.) [1990] The missing link: Riemann's ‘Commentatio', differential geometry and tensor analysis, Historia mathematica, 17 (1990), pp. 223-255. | MR | Zbl

[21] Gauss (C.F.) [Werke] Werke (Königlische Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, ed.), 12 vols., Leipzig-Berlin, 1863-1933. | JFM

[22] Gauss (C.F.) [1813] Theorem über die Anziehung, Werke 11, p. 71.

[23] Gauss (C.F.) [1827] Disquisitiones generales circa superficies curvas, Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores, 4 (1828); Werke 4, pp. 217-258. French transl. 1855, repr. Blanchard, 1967. English transl. 1902, repr. in Astérisque 62 (1979).

[24] Gauss (C.F.) [1835] Grundgesetz für alle Wechselwirkungen galvanischer Ströme, Werke 5, pp. 616-620.

[25] Gauss (C.F.) [1839] Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse wirkenden Anziehungs-und Abstossungs Kräfte, Resultate aus der Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre 1839 (K.F. Gauss and W. Weber, eds.), Leipzig, 1840; Werke 5, pp. 194-242. | JFM

[26] Gauss (C.F.) [1845] Brief an Weber, Werke 5, pp. 627-629.

[27] Klein (F.) [Ges. math. Abh.] Gesammelte mathematische Abhandlungen (Fricke and others, eds.), 3 vols., Berlin: Springer, 1921-1923.

[28] Klein (F.) [1882] Über Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale, Leipzig: Teubner, 1882; Ges. math. Abh. 3, pp. 499-573. Engl. transl. 1893 ; repr., Dover, 1963. | JFM | MR

[29] Klein (F.) [1894] Riemann und seine Bedeutung für die Entwicklung der modernen Mathematik, Jber. d. Dt. Math.-Verein., 4 (1894-1895), pp. 71-87; Ges. math. Abh. 3, pp. 482-497. | JFM

[30] Klein (F.) [1926] Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert (R. Courant and O. Neugebauer eds.), t. I, Berlin: Springer, 1926. Engl. transl., Brooklin : Math. Sci. Press, 1979. | JFM | MR

[31] Klein (F.) [Nachlass] Niedersächsischen Staat-und Universitätsbibliothek Göttingen, Handschriftenabteilung, Prinzenstr. 1, D-3400 Göttingen.

[32] Kohlrausch (R.) [1853] Das Sinuselektrometer, Ann. Phys. Chem., 88 (1853), p. 497.

[33] Kohlrausch (R.) [1854] Theorie des elektrischen Rückstandes in der Leidener Flasche, Ibid., 91 (1854), pp. 56-82.

[34] Lamé (G.) [1859] Leçons sur les coordonnées curvilignes et leurs applications, Paris: Mallet-Bachelier, 1859.

[35] Landau (L.D.) and Lifshitz (E.M.) [1951] The classical theory of fields, Oxford: Pergamon Press, 1951, repr. 1979. | MR | Zbl

[36] Landau (L.D.) and Lifshitz (E.M.) [1959] Théorie de l'élasticité, Oxford: Pergamon Press, 1959.

[37] Laplace (P.S.) [Œuvres] Œuvres complètes, 14 vols., Paris : Gauthier-Villars, 1878-1912. | JFM

[38] Lobachevsky (N.) [1837] Géométrie imaginaire, J. reine angew. Math., 17 (1837), pp. 295-320. | Zbl

[39] Maxwell (J.C.) [1856] On Faraday's lines of force, Transactions of the Cambridge philosophical Society, 10 (1856), p. 27.

[40] Maxwell (J.C.) [1873] A treatise on electricity and magnetism, 2 vols., Oxford: Clarendon Press, 1873 ; 3rd ed. 1891 ; repr., New York : Dover, 1954. | JFM | MR

[41] Newton (I.) [1726] Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 3rd ed., London 1726; Engl. transl. by A. Motte revised by F. Cajori, Berkeley and Los Angeles: University of California Press, 1934 ; 5th ed., 1962. | Zbl

[42] Noether (M.) [1882] Zu F. Klein's Schrift ‘Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Functionen', Zeitschrift für die Mathematik und Physik 27 (1882), pp. 201-206.

[43] Portnoy (E.) [1982] Riemann's contribution to differential geometry, Hist. math., 9 (1982), pp. 1-18. | MR | Zbl

[44] Reiff (R.) and Sommerfeld (A.) [1902] Elektrizität und Optik, Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Physik, V, 2, Leipzig : Teubner, pp. 3-62. | JFM

[45] Riemann (B.) [Werke] Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass (H. Weber, ed.), Leipzig: Teubner, 1876 ; 2nd ed. 1892 ; repr. New York: Springer, 1991. French edition, Paris 1898, repr. Blanchard, 1968. (All references refer to the 1991 edition.) | MR

[46] Riemann (B.) [1851] Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen complexen Grösse, Inauguraldissertation, Göttingen, 1851; Werke, pp. 3-48.

[47] Riemann (B.) [1853] Neue mathematische Principien der Naturphilosophie, Werke, pp. 528-532.

[48] Riemann (B.) [1854a] Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1868); Werke, pp. 227-271. | JFM

[49] Riemann (B.) [1854b] Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, Ibid., 13 (1868); Werke, pp. 272-287. English transl. in [Spivak 1970/1979, pp. 135-153]. | JFM

[50] Riemann (B.) [1854c] Über die Gesetze der Vertheilung von Spannungselectricität in ponderablen Körpern, wenn diese nicht als vollkommene Leiter oder Nichtleiter, sondern als dem Enthalten von Spannungselectricität mit endlicher Kraft widerstrebend betrachtet werden, Amtlicher Bericht über die 31. Versammlung Deutscher Naturforscher und Aerzte zu Göttingen im September 1854 (1854); Werke, pp. 49-54.

[51] Riemann (B.) [1855] Zur Theorie der Nobili'schen Farbenringe, Ann. Phys. Chem., 95 (1855); Werke, pp. 55-66.

[52] Riemann (B.) [1857a] Beiträge zur Theorie der durch die Gauss’sche Reihe $F(\ae ,ß,\copyright ,x)$ darstellbaren Functionen, Abh. K. Ges. Wiss. Göttingen, 7 (1857); Werke, pp. 67-83.

[53] Riemann (B.) [1857b] Theorie der Abelschen Funktionen, J. reine angew. Math., 54 (1857); Werke, pp. 88-144. | Zbl

[54] Riemann (B.) [1858] Ein Beitrag zur Elektrodynamic, Ann. Phys. Chem., 131 (1858); Werke, pp. 288-293.

[55] Riemann (B.) [1861] Commentatio mathematica, qua respondere tentatur quaestioni ab Illma Academia Parisiensi propositæ: ‘ Trouver quel doit être l'état calorifique d'un corps solide homogène indéfini pour qu'un système de courbes isothermes, à un instant donné, restent isothermes après un temps quelconque, de telle sorte que la température d'un point puisse s'exprimer en fonction du temps et de deux autres variables indépendantes', Werke, pp. 391-404.

[56] Riemann (B.) [1869] Partielle Differentialgleichungen und deren Anwendung auf physikalische Fragen (K. Hattendorff, ed.), Braunschweig: F. Vieweg, 1869. | JFM

[57] Riemann (B.) [1876a] Fragmente philosophischen Inhalts, Werke, pp. 507-538.

[58] Riemann (B.) [1876b] Über das Potential eines Ringes, Werke, pp. 431-436.

[59] Riemann (B.) [1876c] Gleichgewicht der Electricität auf Cylindern mit kreisförmigem Querschnitt und parallelen Axen, Werke, pp. 440-444.

[60] Riemann (B.) [1876d] Neue Theorie des Rückstandes in electrischen Bindungsapparaten, Werke, pp. 367-378.

[61] Riemann (B.) [1876e] Schwere, Elektricität, Magnetismus. Nach den Vorlesungen von B. Riemann (K. Hattendorff, ed.), Hannover: C. Rümpler, 1876. | JFM

[62] Riemann (B.) [1902] Nachträge (M. Noether and W. Wirtinger, eds.), 1902 ; Werke, viii + 116 p. (separate numeration following p. 558).

[63] Rosenfeld (L.) [Papers] Selected papers of Léon Rosenfeld (R.S. Cohen and J.J. Stachel, eds.), Boston Studies in the Philosophy of Science 21, Dordrecht/Boston: Reidel Publishing Company, 1979. | MR

[64] Rosenfeld (L.) [1956] The velocity of light and the evolution of electrodynamics, Suppl. Nuovo Cimento 4 (1956), pp. 1630-1669; Papers, pp. 134-177. | MR

[65] Schaffner (K.F.) [1972] Nineteenth-century aether theories, Oxford: Pergamon Press, 1972.

[66] Schering (E.) [Werke] Gesammelte mathematische Werke (R. Haussner and K. Schering, eds.), 2 vols., Berlin: Mayer and Müller, 1902-1909. | JFM

[67] Schering (E.) [1866] Zum Gedächtniss an B. Riemann, Werke 2, pp. 367-383 ; repr. in [Riemann, Werke 1991, pp. 828-847].

[68] Scholz (E.) [1982] Riemanns frühe Notizen zur Mannigfaltigkeitsbegriff und zu den Grundlagen der Geometrie, Archive for history of exact sciences, 27 (1982), pp. 213-232. | MR | Zbl

[69] Speiser (A.) [1927] Naturphilosophische Untersuchungen von Euler und Riemann, J. reine angew. Math., 157 (1927), pp. 105-114. | JFM

[70] Spivak (M.) [1970] A comprehensive introduction to differential geometry, vol. II, 1st ed. 1970 ; 2nd ed., Houston : Publish or Perish, 1979. | Zbl

[71] Weber (W.) [1846] Elektrodynamische Maassbestimmungen, Abhandlungen bei Begründung der Königlischen Sächsichen Gesellschaft der Wissenschaften am Tage des 200 jährigen Geburtstages Leibnizens (1846), pp. 209-378. | JFM

[72] Weyl (H.) [1913] Die Idee der Riemannschen Fläche, Leipzig: Teubner, 1913 ; repr. 1964. | JFM | MR | Zbl

[73] Weyl (H.) [1919a] Raum Zeit Materie, Berlin: Springer, 1919. Engl. transl. 1922 ; repr. Dover, 1952. French transl. 1922, repr. Blanchard 1958. | MR

[74] Weyl (H.) [1919b] Bernhard Riemann, Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (H. Weyl ed.), Berlin, 1919. Weyl's Vorwort and Erläuterungen are reprinted in Riemann [Werke, 1991, pp. 740-768]. | JFM

[75] Weyl (H.) [1923] Mathematische Analyse des Raumproblems, Berlin: Springer, 1923. | JFM

[76] Whittaker (E.) [1951] A history of the theories of aether and electricity, vol. I, New York: Harper, 1951 ; repr. Dover 1991.

[77] Wise (N.M.) [1981] German concepts of force, energy, and the electromagnetic ether: 1845-1880, Conception of ether. Studies in the history of ether theory, 1740-1900 (G.N. Cantor and M.J. Hodge, eds.), Cambridge: Cambridge University Press, 1981, pp. 269-307.