Contribution à l'histoire de la théorie des géodésiques au XIXe siècle

Nabonnand, Philippe

Revue d'histoire des mathématiques, Tome 1 (1995) no. 2, pp. 159-200.

La théorie des géodésiques d'une surface se situe à l'intersection de plusieurs domaines : la géométrie différentielle, le calcul des variations, la théorie des équations différentielles et la mécanique. Au début du xixe siècle, la théorie locale des géodésiques est un exemple bien connu d'application des méthodes infinitésimales à la géométrie. Cependant, l'équation des géodésiques est trop difficile pour être résolue et les méthodes directes ne donnent que peu d'informations sur le comportement global des géodésiques d'une surface donnée.Avec Jacobi, Sturm et Liouville, l'apparition d'un point de vue qualitatif dans l'étude des solutions d'une équation différentielle permet une analyse globale et qualitative du comportement des géodésiques d'une surface, en particulier grâce à l'étude du lieu conjugué et du lieu de coupure ainsi que par la considération de l'influence de conditions topologiques ou géométriques globales comme le signe de la courbure.

The theory of geodesics on a surface is a subject standing at the intersection of various fields : differential geometry, the calculus of variations, the theory of differential equations, and mechanics. At the outset of the 19th century, the local theory of geodesics was well known as an instance of the application of the methods of the infinitesimal calculus to geometry. The equations for geodesics, however, were generally unamenable to easy resolution; and direct methods of treatment yielded but little of interest, as regards the global behaviour of geodesics on a given surface.With the work of Jacobi, Sturm, and Liouville, the emergence of a qualitative approach in the study of the resolution of differential equations allowed for a global, and qualitative, treatment of geodesics on a surface - most conspicuously through the study of the conjugate locus, and of the cut locus, and by the examination of the incidence of such global topological or geometrical conditions as the sign, positive or negative, of the curvature.

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[43] Liouville (J.) [1846a] Démonstration géométrique relative à l'équation des lignes géodésiques sur les surfaces du second degré, Ibid., 11 (1846), p. 21-24.

[44] Liouville (J.) [1846b] Sur quelques cas particuliers où les équations du mouvement d'un point matériel peuvent s'intégrer, Ibid., 11 (1846), p. 345-380.

[45] Liouville (J.) [1850] Notes, dans G. Monge, Application de l'analyse à la géométrie, 5e éd. revue, corrigée et annotée par M. Liouville, Paris, 1850, p. 547-638.

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[54] Poincaré (H.) [Œuvres] Œuvres de Henri Poincaré, 11 vol., Paris : Gauthier-Villars, 1916-1956. | Zbl

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[59] Reich (K.) [1973] Die Geschichte der Differentialgeometrie von Gauss bis Riemann (1828-1868), Archive for History of Exact Sciences, 11 (1973), p. 273-382. | MR | Zbl

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