Lagrange's essay “Recherches sur la manière de former des tables des planètes d'après les seules observations”

Galuzzi, Massimo

Revue d'histoire des mathématiques, Tome 1 (1995) no. 2, pp. 201-233.

Le mémoire de Lagrange étudié dans cet article est généralement considéré comme une contribution à l'analyse numérique, élégante mais difficilement utilisable. Mon propos est de montrer l'importance des idées mathématiques novatrices qu'il recèle et notamment de replacer cet essai dans la perspective de la théorie des fonctions génératrices fondée un peu plus tard par Laplace. Ce texte de Lagrange s'avère en effet riche en procédures qui deviendront ensuite standard dans cette théorie.On y trouve de plus des éléments assez étonnants comme un algorithme d'approximation d'une série entière au moyen de fractions rationnelles, très semblable dans certains cas au calcul des approximants de Padé, ou l'introduction de polynômes qui, formellement, correspondent aux polynômes de Chebyshev, dans un rôle qui leur sera dévolu seulement au xxe siècle.

The memoir presented by Lagrange, which this paper examines, is usually considered as an elegant, but scarcely practicable, contribution to numerical analysis. The purpose of this study is to show the significance of the novel mathematical ideas it contains, and in particular to look at this essay from the perspective of generating function theory, for which the theoretical foundations would be laid some little time later by Laplace. This excursus of Lagrange's does indeed proffer an abundance of procedures that were to become standard in this latter theory.Further, Lagrange's memoir introduces some quite extraordinary elements, e.g. an algorithm for the approximation of an integral series by means of rational fractions - quite analogous in some cases to the determination of Padé approximants; or the introduction of polynomials formally akin to Chebyshev polynomials, to cater for tasks that would only devolve to the latter in the 20th century.

[1] Brezinski (C.) [1991] History of continued fractions and Padé approximants, Berlin-Heidelberg: Springer, 1991. | MR | Zbl

[2] Burkhardt (H.) [1904] Trigonometrische Interpolation, in Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, vol. II.1.1., chap. 9, Leipzig, 1899-1916. | JFM

[3] Burkhardt (H.) [1914] Trigonometrische Reihen und Integrale (bis etwa 1850), in Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, vol. II.1.2., chap. 12, Leipzig, 1904-1916.

[4] Condorcet (M.-J.-A.-N. Caritat De) [Arith. pol.] Arithmétique politique. Textes rares ou inédits (1767-1789), B. Bru and P. Crépel eds., Paris: INED, 1994. | Zbl

[5] Delambre (J.B.J.) [1867] Notice sur la vie et les ouvrages de M. le Comte J.L. Lagrange, in [Lagrange, Œuvres 1, pp. VII- LI].

[6] Euler (L.) [Opera] Leonhardi Euleri Opera omnia, sub. ausp. Societatis Scientiarum Naturalium Helveticae, series I-IVA, 1911- . | JFM

[7] Euler (L.) [1744] De fractionibus continuis dissertatio, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 9 (1737), 1744, pp. 98-137; Opera (I) 14, pp. 186-215.

[8] Euler (L.) [1748] Introductio in analysin infinitorum, 2 vols., Lausanne 1748; Opera (I) 8-9. French transl. by J.B. Labey, Paris, An IV (1796). English transl. by J.D. Blanton, New York: Springer, 1988. | MR

[9] Euler (L.) [1770] Vollständige Anleitung zur Algebra, St. Petersburg, 1770; Opera (I) 1. French transl. Éléments d'algèbre, with additions by Lagrange, 2 vols., Lyon and Paris, 1774 [sic for 1773]. English transl., Elements of algebra, by J. Hewlett, London, 1840; reprint, with an introduction by C. Truesdell, New York: Springer, 1984. | MR

[10] Goldstine (H.H.) [1977] A history of numerical analysis from the 16th through the 19th century, New York: Springer, 1977. | MR | Zbl

[11] Gould (H.W.) [1990] Series transformations for finding recurrences for sequences, The Fibonacci Quarterly, 28 (1990), pp. 166-171. | MR | Zbl

[12] Graham (R.L.), Knuth (D.E), Patashnik (O.) [1989] Concrete mathematics, Reading (Mass.): Addison-Wesley, 1989. | MR

[13] Lagrange (J.L.) [Œuvres] Œuvres de Lagrange, 14 vols., Paris: Gauthier-Villars, 1867-1892.

[14] Lagrange (J.L.) [1759] Sur l'intégration d'une équation différentielle à différences finies, qui contient la théorie des suites récurrentes, Miscellanea Taurinensia, 1 (1759), pp. 33-42; Œuvres 1, pp. 23-36.

[15] Lagrange (J.L.) [1769] Sur la résolution des équations numériques, Histoire de l'Académie royale des sciences et belles-lettres (de Berlin), 23 (1767), 1769, pp. 311-352; Œuvres 2, pp. 539-578.

[16] Lagrange (J.L.) [1770a] Additions au mémoire sur la résolution des équations numériques, Ibid., 24 (1768), 1770, pp. 111-180; Œuvres 2, pp. 581-652.

[17] Lagrange (J.L.) [1770b] Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries, Ibid., 24 (1768), 1770, pp. 251-326; Œuvres 3, pp. 5-73.

[18] Lagrange (J.L.) [1773] Additions à l'analyse indéterminée, in Euler [1770/1773, vol. 2, pp. 369-658] and [Opera (I) 1, pp. 499-651]; Œuvres 7, pp. 5-180.

[19] Lagrange (J.L.) [1775] Recherches sur la manière de former des tables des planètes d'après les seules observations, Histoire de l'Académie royale des sciences (de Paris), (1772 I), 1775, pp. 513-618; Œuvres 6, pp. 507-627.

[20] Lagrange (J.L.) [1777] Recherches sur les suites récurrentes , Nouveaux Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres (de Berlin), (1775), 1777, pp. 183-272; Œuvres 4, pp. 151-251.

[21] Lagrange (J.L.) [1778] Sur les interpolations, original French text of the memoir read by Lagrange on 3 September 1778; Œuvres 7, pp. 535-553. German transl. by Schulze, Über das Einschalten, Astronomisches Jahrbuch oder Ephemeriden für das Jahr 1783, Berlin, 1780. Also in Lagrange, Mathematische Elementarvorlesungen, Leipzig, 1880, German transl. by H. Niedermüller.

[22] Lagrange (J.L.) [1797] Théorie des fonctions analytiques , Paris, 1797; 3rd ed., revised and with a note by J.-A. Serret, Paris, 1847; Œuvres 9, pp. 11-421.

[23] Lanczos (C.) [1952] Tables of Chebyshev polynomials $S_n\left(x\right)$ and $C_n\left(x\right)$, Washington: U.S. National Bureau of Standards Applied Mathematics Series (vol. 9), 1952. | Zbl

[24] Laplace (P.S.) [Œuvres] Œuvres complètes de Laplace, 14 vols., Paris: Gauthier-Villars, 1878-1912. | JFM

[25] Laplace (P.S.) [1782 ] Mémoire sur les suites, Histoire de l'Académie royale des sciences (de Paris), (1779), 1782, pp. 207-309; Œuvres 10, pp. 1-89.

[26] Laplace (P.S.) [1812] Théorie analytique des probabilités, Paris, 1812; 3rd ed., 1820; Œuvres 7.

[27] Lorentzen (L.), Waadeland (H.) [1992] Continued fractions with applications, Amsterdam: North-Holland, 1992. | MR | Zbl

[28] Moivre (A. De) [1718] The doctrine of chances , London, 1718; 3rd ed., London, 1756. Reprint with a biographical article on the author by H.M. Walker (originally appeared in Scripta mathematica, vol. II, No. 4, 1934), New York: Chelsea, 1967.

[29] Newton (I.) [MP] The mathematical papers of Isaac Newton, ed. by D.T. Whiteside, 8 vols., Cambridge: Cambridge University Press, 1967-1981. | MR | Zbl

[30] Panza (M.) [1992] La forma della quantità, 2 vols., (Cahiers d'histoire & de philosophie des sciences, 38-39), Paris: Société française d'histoire des sciences et des techniques, 1992. | Zbl

[31] Pearson (K.) [1978] The history of statistics in the 17th and 18th centuries, ed. by E.S. Pearson, London and High Wycombe: Charles Griffin, 1978. | MR | Zbl

[32] Pepe (L.) [1986] Sull'edizione delle opere di Lagrange, in E. Giusti, L. Pepe (eds.), Edizioni critiche e storia della matematica. Atti del Convegno, Pisa: Ets, 1986.

[33] Poisson (S.-D.) [1823] Suite du mémoire sur les intégrales définies et sur la sommation des séries , Journal de l'École royale polytechnique, tome XII, 19e cahier (1823), pp. 404-509.

[34] Rivlin (T.J.) [1974] Chebyshev polynomials, New York: John Wiley, 1974; 2nd ed., 1990. | MR | Zbl

[35] Schur (I.) [1973] Arithmetisches über die Tschebyscheffschen Polynome, Gesammelte Abhandlungen III, Berlin: Springer, 1973, pp. 422-453. | Zbl

[36] Taton (R.) [1974] Inventaire chronologique de l'œuvre de Lagrange, Revue d'histoire des sciences, 27 (1974), pp. 3-36. | MR | Zbl

[37] Weil (A.) [1984] Number theory. An approach through history from Hammurapi to Legendre, Basel, 1984. Italian transl., with an introduction by E. Bombieri, Torino: Einaudi 1993. | MR | Zbl

[38] Wilf (H.S.) [1990] Generatingfunctionology, Boston: Academic Press, 1990; 2nd ed., 1994. | MR | Zbl

[39] Wilson (C.A.) [1980] Perturbations and solar tables from Lacaille to Delambre: the rapprochement of observations and theory, Part I and Part II, Archive for History of Exact Sciences, 22 (1980), pp. 53-188 and 189-304.

[40] Wilson (C.A.) [1985] The great inequality of Jupiter and Saturn: from Kepler to Laplace, Ibid., 33 (1985), pp. 15-290. | MR