Lazare Carnot et la généralité en géométrie. Variations sur le théorème dit de Menelaus

Chemla, Karine

Revue d'histoire des mathématiques, Tome 4 (1998) no. 2, pp. 163-190.

Comment introduire de la généralité dans un monde géométrique où une foule de vérités particulières, établies par des méthodes ad hoc, restent sans liaison entre elles et forment donc un ensemble sans organisation ? En suivant les divers traitements d'un unique théorème, appelé aujourd'hui le théorème de Menelaus, le présent article vise à examiner comment les travaux géométriques de Lazare Carnot ont indiqué, aux géomètres comme Poncelet ou Chasles qui posaient cette question, diverses pistes pour y répondre.

How can generality be introduced in a geometrical world where a host of particular truths, established with ad hoc methods, remain disconnected from each other and, hence, form a set without organisation? Geometers like Poncelet and Chasles asked this question. By examining the various treatments given to a single theorem, called today Menelaus theorem, this paper aims at examining how Lazare Carnot's geometrical works offered various directions of answer.

[1] Belhoste (Bruno) [1998] De l'École polytechnique à Saratoff, les premiers travaux géométriques de Poncelet, Bulletin de la SABIX, (1998), p.9-29.

[2] Belhoste (Bruno) et Taton (René) [1992] L'invention d'une langue des figures dans [Dhombres 1992], p.269-303.

[3] Bossut (Charles) [1800] Cours de mathématiques, géométrie et application de l'algèbre à la géométrie, nouvelle édition, t.II, Paris, 1800.

[4] Brianchon (Charles Julien) [1817] Mémoire sur les lignes du second ordre, faisant suite aux recherches publiées dans les journaux de l'École royale polytechnique, Paris, 1817.

[5] Carnot (Lazare) [1800] Lettre du cit. Carnot, membre de l'Institut national, ministre de la guerre, au cit. Bossut, membre de l'Institut national, examinateur du Corps du génie, 30 fructidor an 8 de la République française, parue en annexe de [Bossut 1800], p.401-421.

[6] Carnot (Lazare) [1801] De la corrélation des figures de géométrie, Paris, 1801.

[7] Carnot (Lazare) [1803] Géométrie de position, Paris, 1803.

[8] Carnot (Lazare) [1806] Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq points quelconques pris dans l'espace suivi d'un essai sur la théorie des transversales. Un appendice leur est adjoint : Digression sur la nature des quantités dites négatives, Paris, 1806.

[9] Charnay (Jean-Pierre) [1984-85] Lazare Carnot. Révolution et mathématiques, introduction de J.-P. Charnay, Paris : Éditions de l'Herne, tome 1, 1984 ; tome2, 1985.

[10] Charnay (Jean-Pierre) [1990] (dir.) Lazare Carnot ou le savant-citoyen, Paris : Presses de l'Université de la Sorbonne, 1990.

[11] Chasles (Michel) [1837] Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie, particulièrement de celles qui se rapportent à la géométrie moderne, suivi d'un mémoire de géométrie sur deux principes généraux de la science : la dualité et l'homographie, Bruxelles : M.Hayez, 1837. Réimpression de l'Aperçu historique : Paris : Éditions Jacques Gabay, 1989. Rééditions : Paris : Gauthier-Villars et fils, 1875, 1889. Nous citons l'ouvrage d'après l'édition de 1889. | JFM | MR

[12] Chasles (Michel) [1870] Rapport sur les progrès de la Géométrie, publication faite sous les auspices du ministère de l'Instruction publique, Paris : Imprimerie nationale, 1870. | JFM

[13] Chemla (Karine) [1990] Remarques sur les recherches géométriques de Lazare Carnot, dans [Charnay 1990], p.525-41.

[14] Chemla (Karine) [1994] Le rôle joué par la sphère dans la maturation de l'idée de dualité au début du XIXe siècle. Les articles de Gergonne entre 1811 et 1827, Actes de la quatrième université d'été d'histoire des mathématiques, Lille, 1990, Lille : IREM, 1994, p.57-72. | MR

[15] Chemla (Karine) et Pahaut (Serge) [1988] Préhistoires de la dualité : explorations algébriques en trigonométrie sphérique, 1753-1825, dans Rashed (R.), éd., Sciences à l'époque de la révolution, Paris : Librairie A.Blanchard, 1988, p.149-200. | MR

[16] Collectif [1964] L'œuvre scientifique de Pascal, Paris : Presses Universitaires de France, 1964.

[17] Dhombres (Jean) (dir.) [1992] L'École normale de l'an III. Leçons de mathématiques. Laplace-Lagrange-Monge, Paris : Dunod, 1992.

[18] Dhombres (Jean Et Nicole) [1997] Lazare Carnot, Paris : Librairie Arthème Fayard, 1997.

[19] Gergonne (Joseph-Diaz) [1827] Recherches sur quelques lois générales qui régissent les lignes et surfaces algébriques de tous ordres, Annales de mathématiques pures et appliquées, 17 (1827), p.214-228.

[20] Gillispie (Charles Coulston) [1971] Carnot, dans Gillispie (C.C.) éd., Dictionary of Scientific Biography, t.III (1971), p.70-79.

[21] Gillispie (Charles Coulston) [1979] (avec A.P.Youschkevitch) Lazare Carnot savant et sa contribution à la théorie de l'infini mathématique, Paris : Vrin, 1979. | MR

[22] Gillispie (Charles Coulston) [1994] Préface à la réimpression de [Reinhard 1951-52], Paris : Hachette, 1994.

[23] Klein (Felix) [1926-7] Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, 2 vol., Berlin : Springer, tome 1, 1926 ; tome 2, 1927. | MR | Zbl

[24] Kötter (Ernst) [1901] Die Entwickelung der synthetischen Geometrie von Monge bis auf Staudt (1847), Leipzig : Teubner, 1901.

[25] Lacroix (Sylvestre-François) [1797-98] Traité du calcul différentiel et intégral, 2 tomes, Paris, 1797-98.

[26] Lagrange (Joseph-Louis) [Œuvres] Œuvres de Lagrange, publiées par J.Serret, Paris : Gauthier-Villars, 1867-1892. | JFM

[27] Lagrange (Joseph-Louis) [1798-99] Solutions de quelques problèmes relatifs aux triangles sphériques avec une analyse complète de ces triangles, Journal de l'École polytechnique, 6e cahier, 2, Thermidor an VII (1798-99), p.270-96 ; Œuvres, 7, p.331-359.

[28] Monge (Gaspard) [1799] Géométrie descriptive, Leçons données aux Écoles normales de l'an 3 de la République, Paris 1799 ; réimprimé à Paris : Éditions Jacques Gabay, 1989 ; édition critique et commentée, avec une introduction, par Bruno Belhoste et René Taton, dans [Dhombres 1992], p.267-459. | MR

[29] Pascal (Blaise) [1640] Essay pour les coniques, 1640 ; in [Taton 1951 b], p.190-194. | JFM

[30] Poncelet (Jean-Victor) [1822] Traité des propriétés projectives des figures, Paris, 1822

[31] Poncelet (Jean-Victor) [1862-1864] Applications d'analyse et de géométrie qui ont servi de principal fondement au Traité des propriétés projectives des figures, 2 tomes ; tome 1, Paris : Mallet-Bachelier, 1862 : tome 2, Paris : Gauthier-Villars, 1864.

[32] Reinhard (Marcel) [1951-52] Le grand Carnot, Paris : Hachette, 1951, 1952 ; réimprimé, avec une préface de C.C.Gillispie ( VIII p.), Paris : Hachette, 1994.

[33] Sakarovitch (Joël) [1989] Théorisation d'une pratique, pratique d'une théorie. Des traités de la coupe des pierres à la géométrie descriptive, travail de fin d'études, École d'architecture de Paris La Villette, Paris, 1989.

[34] Sakarovitch (Joël) [1998] Épures d'architecture. De la coupe des pierres à la géométrie descriptive XVIe-XIXe siècles, Bâle : Birkhäuser, 1998. | MR | Zbl

[35] Taton (René) [1951a] L'œuvre scientifique de Monge, Paris : Presses Universitaires de France, 1951. | MR | Zbl

[36] Taton (René) [1951b] L'œuvre mathématique de G.Desargues. Textes publiés et commentés avec une introduction biographique et historique, Paris : Presses Universitaires de France, 1951 ; seconde édition mise à jour, second tirage avec une post-face inédite, Paris : Librairie philosophique J.Vrin, 1988. | Zbl

[37] Taton (René) [1964] L'École polytechnique et le renouveau de la géométrie analytique, dans L'aventure de l'esprit, mélanges offerts à Alexandre Koyré, Paris : Hermann, 1964, vol.I, p.552-564