Geometrical Patterns in the Pre-classical Greek Area. Prospecting the Borderland between Decoration, Art, and Structural Inquiry
Revue d'histoire des mathématiques, Volume 6 (2000) no. 1, p. 5-58

Many general histories of mathematics mention prehistoric “geometric” decorations along with counting and tally-sticks as the earliest beginnings of mathematics, insinuating thus (without making it too explicit) that a direct line of development links such decorations to mathematical geometry. The article confronts this persuasion with a particular historical case: the changing character of geometrical decorations in the later Greek area from the Middle Neolithic through the first millennium bce.The development during the “Old European” period (sixth through third millennium bce, calibrated radiocarbon dates) goes from unsystematic and undiversified beginnings toward great phantasy and variation, and occasional suggestions of combined symmetries, but until the end largely restricted to the visually prominent, and not submitted to formal constraints; the type may be termed “geometrical impressionism”.Since the late sixth millennium, spirals and meanders had been important. In the Cycladic and Minoan orbit these elements develop into seaweed and other soft, living forms. The patterns are vitalized and symmetries dissolve. One might speak of a change from decoration into art which, at the same time, is a step away from mathematical geometry.Mycenaean Greece borrows much of the ceramic style of the Minoans; other types of decoration, in contrast, display strong interest precisely in the formal properties of patterns - enough, perhaps, to allow us to speak about an authentically mathematical interest in geometry. In the longer run, this has a certain impact on the style of vase decoration, which becomes more rigid and starts containing non-figurative elements, without becoming really formal. At the breakdown of the Mycenaean state system around 1200 bce, the “mathematical” formalization disappears, and leaves no trace in the decorations of the subsequent Geometric period. These are, instead, further developments of the non-figurative elements and the repetitive style of late Mycenaean vase decorations. Instead of carrying over mathematical exploration from the early Mycenaean to the Classical age, they represent a gradual sliding-back into the visual geometry of earlier ages.The development of geometrical decoration in the Greek space from the Neolithic through the Iron Age is thus clearly structured when looked at with regard to geometric conceptualizations and ideals. But it is not linear, and no necessity leads from geometrical decoration toward geometrical exploration of formal structures (whether intuitive or provided with proofs). Classical Greek geometry, in particular, appears to have its roots much less directly (if at all) in early geometrical ornamentation than intimated by the general histories.

Nombre d'histoires générales des mathématiques évoquent aux tout débuts des mathématiques les décorations « géométriques » de la préhistoire, en même temps que l'opération de compter et les baguettes à encoches, suggérant ainsi (sans que ce soit dit explicitement) qu'une ligne de développement directe lie ces décorations à la géométrie en tant que branche des mathématiques. L'article confronte cette conviction à un cas historique particulier : le caractère changeant des décorations géométriques dans ce qui sera l'aire grecque, du néolithique moyen au premier millénaire av. J.-C.Pendant la période « européenne ancienne » (du sixième au troisième millénaire av. J.-C., dates obtenues à l'aide du carbone 14 et calibrées), le développement va de débuts non systématiques et non diversifiés vers un déploiement d'imagination et de variation, suggérant parfois des symétries combinées, mais ressortissant toujours au visuel sans être soumises à des contraintes formelles ; ce type de décoration pourrait être appelé « impressionisme géométrique ».Depuis la fin du sixième millénaire, les spirales et méandres y occupent une place importante. Dans l'orbite cycladique et minoenne, ces éléments se sont transformés en algues et autres formes souples. De la vie est insufflée dans ces dessins et les symétries se dissolvent. On pourrait parler d'une rupture, la décoration devenant art tout en s'éloignant simultanément de la géométrie.La céramique de la Grèce mycénienne emprunte beaucoup au style minoen ; d'autres types de décoration, en revanche, exhibent un fort penchant pour les propriétés formelles des dessins - suffisamment peut-être pour nous permettre de parler d'un intérêt authentiquement mathématique dans la géométrie. Sur la longue durée, ceci aura un certain impact sur le style des poteries décorées, qui devient plus rigide et commence à inclure des éléments non figuratifs, sans qu'ils soient purement formels. Lors de l'effondrement du système étatique mycénien, vers 1200 av. J.-C., cette formalisation « mathématique » disparaît et ne laisse pas la moindre trace dans les décorations de la période suivante, dite géométrique. Celles-ci résultent, en revanche, d'autres développements, ceux d'éléments non figuratifs et répétitifs présents sur les vases décorées de la période mycénienne tardive. Loin de transférer l'exploration mathématique présente au début de l'époque mycénienne à l'âge classique, elles représentent plutôt un retour progressif vers la géométrie visuelle des périodes antérieures.Examiné à la lumière des conceptualisations et idéaux géométriques, le développement de la décoration géométrique dans l'aire culturelle grecque, du néolithique à l'âge de fer, apparaît ainsi clairement structuré. Mais il n'est pas linéaire, il ne mène pas nécessairement d'une décoration à caractère géométrique à l'exploration systématique de structures formelles (qu'elles soient intuitives ou accompagnées de preuves). En particulier, la géométrie grecque classique semble plonger ses racines moins directement que ne le suggèrent les histoires générales, dans les anciennes ornementations géométriques (si toutefois il y en a).

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Høyrup, Jens. Geometrical Patterns in the Pre-classical Greek Area. Prospecting the Borderland between Decoration, Art, and Structural Inquiry. Revue d'histoire des mathématiques, Volume 6 (2000) no. 1, pp. 5-58. http://www.numdam.org/item/RHM_2000__6_1_5_0/

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