La réception des Vorlesungen über neuere Geometrie de Pasch par Peano

Gandon, Sébastien

Revue d'histoire des mathématiques, Tome 12 (2006) no. 2, pp. 249-290.

Peano écrit en 1888 le Calcolo geometrico. Un an après, il publie I principii di geometria, où il développe, dans le sillage des Vorlesungen über neuere Geometrie de Pasch, une axiomatisation de la géométrie. Comment concevoir le rapport entre ce projet et celui du calcul géométrique ? Dans cet article, nous soulignons le profond fossé entre les deux entreprises : alors que l’élaboration d’une algèbre géométrique vise chez Peano à manifester la singularité des grandeurs spatiales par rapport aux nombres, l’axiomatisation se développe de façon autonome et sans aucune référence à la distinction entre entités géométriques et numériques. Mais nous montrons dans un second temps que la façon dont Peano lit Pasch est complètement tributaire de son engagement antérieur dans la tradition grassmannienne : le segment $AB$ n’est pas, pour lui, comme il l’est pour Pasch un objet observable, mais le résultat d’un certain produit de points. Le tableau, au final, est assez complexe : d’une part, calcul et axiomatique sont supportés par des conceptions fondamentalement opposées de l’objet géométrique ; en même temps, la méthode axiomatique, telle qu’elle se développe dans I principii, résulte d'une lecture de Pasch selon une grille élaborée dans le Calcolo.

Peano wrote the Calcolo geometrico in 1888. One year later, in 1889, he published I principii di geometria, in which he developed, in Pasch's wake, an axiomatisation of geometry. What is the relationship between this work and the previous elaboration of a geometrical calculus ? In this article, we outline the deep difference between the two methods : although the construction of a geometrical algebra aimed at showing the specificity of spatial magnitudes, the axiomatisation does not refer to the ontological distinction between geometrical and numerical entities. However, we show that the way Peano read Pasch's Vorlesungen depended on his previous involvement in the Grasmannian tradition : for him, the segment $AB$ does not refer (as it did for Pasch) to an observable object, rather, AB designates the result of a new geometrical product. In the end, the situation is quite complicated : on the one hand, the algebra and the axiomatic are grounded, in Peano’s thought, on completely opposite conceptions of geometrical objects ; on the other, the axiomatic method, as it is developed in I principii, results directly from an interpretation of Pasch entirely based on the Calcolo.

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