La réception des Vorlesungen über neuere Geometrie de Pasch par Peano

Gandon, Sébastien

Revue d'histoire des mathématiques, Tome 12 (2006) no. 2, pp. 249-290.

Peano écrit en 1888 le Calcolo geometrico. Un an après, il publie I principii di geometria, où il développe, dans le sillage des Vorlesungen über neuere Geometrie de Pasch, une axiomatisation de la géométrie. Comment concevoir le rapport entre ce projet et celui du calcul géométrique ? Dans cet article, nous soulignons le profond fossé entre les deux entreprises : alors que l’élaboration d’une algèbre géométrique vise chez Peano à manifester la singularité des grandeurs spatiales par rapport aux nombres, l’axiomatisation se développe de façon autonome et sans aucune référence à la distinction entre entités géométriques et numériques. Mais nous montrons dans un second temps que la façon dont Peano lit Pasch est complètement tributaire de son engagement antérieur dans la tradition grassmannienne : le segment $AB$ n’est pas, pour lui, comme il l’est pour Pasch un objet observable, mais le résultat d’un certain produit de points. Le tableau, au final, est assez complexe : d’une part, calcul et axiomatique sont supportés par des conceptions fondamentalement opposées de l’objet géométrique ; en même temps, la méthode axiomatique, telle qu’elle se développe dans I principii, résulte d'une lecture de Pasch selon une grille élaborée dans le Calcolo.

Peano wrote the Calcolo geometrico in 1888. One year later, in 1889, he published I principii di geometria, in which he developed, in Pasch's wake, an axiomatisation of geometry. What is the relationship between this work and the previous elaboration of a geometrical calculus ? In this article, we outline the deep difference between the two methods : although the construction of a geometrical algebra aimed at showing the specificity of spatial magnitudes, the axiomatisation does not refer to the ontological distinction between geometrical and numerical entities. However, we show that the way Peano read Pasch's Vorlesungen depended on his previous involvement in the Grasmannian tradition : for him, the segment $AB$ does not refer (as it did for Pasch) to an observable object, rather, AB designates the result of a new geometrical product. In the end, the situation is quite complicated : on the one hand, the algebra and the axiomatic are grounded, in Peano’s thought, on completely opposite conceptions of geometrical objects ; on the other, the axiomatic method, as it is developed in I principii, results directly from an interpretation of Pasch entirely based on the Calcolo.

Mot clés : Pasch, Peano, calcul géométrique, axiomatique
Keywords: Pasch, Peano, geometrical calculus, axiomatic

[1] M. Avellone, A. Brigaglia & C. Zapulla, “The Foundations of Projective Geometry in Italy from De Paolis to Pieri”, Arch. History Exact Sci. 56 (2002), p. 363-425 | MR | Zbl

[2] C. Burali-Forti & R. Marcolongo, Éléments de calcul vectoriel avec de nombreuses applications à la géométrie, à la mécanique et à la physique mathématique, Hermann, 1910 | JFM

[3] M. Borga, P. Freguglia & D. Palladino, I contributi fondazionali della scuola di Peano, Franco Angeli, 1985

[4] U. Bottazzini, “Dall'analisi matematica al calcolo geometrico : origini delle prime ricerche di logica di Peano”, Hist. Philos. Logic 6 (1895), p. 25-52 | Zbl

[5] C. Burali-Forti, Introduction à la géométrie différentielle suivant la méthode de H.Grassmann, Gauthier-Villars, 1897 | JFM

[6] L. Carnot, Géométrie de position, Duprat, 1804

[7] W. S. Contro, “Von Pasch zu Hilbert”, Arch. History Exact Sci. 15 (1976), p. 283-295 | MR | Zbl

[8] H. S. Coxeter, Non-Euclidean Geometry, Toronto University Press, 1947 | JFM | Zbl

[9] R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen ?, Vieweg, 1888 | JFM | MR | Zbl

[10] F. Enriques, Fondements de la géométrie. Géométrie générale, Molk (Jules), éd., in: Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, tomeIII, 1, Gabay, Paris, 1991 | MR

[11] H. Freudenthal, The impact of von Staudt's foundation of geometry, dans R. S. Cohen etal., For Dirk Struik, D. Reidel, 1974 | MR | Zbl

[12] P. Freguglia, Il calcolo geometrico ed i fondamenti della geometria, dans[Borga etal. 1985, p.174-236], 1985

[13] P. Freguglia, Dalle equipollenze ai sistemi lineai - Il contributo italiano al calcolo geometrico, QuattroVenti, 1992

[14] S. Gandon, “Pasch entre Klein et Peano : empirisme et idéalité en géométrie”, Dialogue XLIV (2005), p. 653-92 | MR | Zbl

[15] I. Grattan-Guinness, The Search for Mathematical Roots 1870-1940 - Logic, Set Theories and the Foundations of Mathematics from Cantor Through Russell to Gödel, Princeton University Press, 2000 | MR | Zbl

[16] C. Hermite, Cours de M. Hermite rédigé en 1882 par M.Andoyer, 4e éd., Hermann, 1882

[17] J. Houël, Essai critique sur les principes fondamentaux de la géométrie élémentaire ou commentaire sur XXXII premières propositions d'Euclide, Gauthier-Villars, 2e éd., 1883, 1867

[18] H. C. Éd. Kennedy, Life and Works of Giuseppe Peano, http ://home.att.net/~clair norman/Peano2002.pdf, 2002

[19] H. C. Éd. Kennedy, Selected Works of Giuseppe Peano, University of Toronto Press, 1973 | MR | Zbl

[20] F. Klein, Gesammelte mathematische Abhandlungen, I-III, Springer, 1922-1923 | JFM

[21] F. Klein, “Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie”, Math. Annalen 4 (1873) | JFM

[22] H. Lebesgue, Intégrale, longueur, aire, dans Œuvres scientifiques, 1, Kundig, 1972-1973, 1902 | JFM

[23] H. Lebesgue, La mesure des grandeurs, Blanchard, 1975 | JFM | MR | Zbl

[24] A. Michel, Constitution de la théorie moderne de l'intégration, Vrin, 1992 | MR

[25] G. H. Moore, “The Axiomatization of Linear Algebra : 1875-1940”, Historia Math. 22 (1995), p. 262-303 | MR | Zbl

[26] P. Nabonnand, Des « Grundbegriffe » aux « Stammbegriffe », in: Histoires de géométries, Maison des Sciences de l'Homme, Paris, 2002

[27] M. Pasch, “Die Begründung der Mathematik und die implizite Definition”, Annalen der Philosophie 2 (1921), p. 144-162 | JFM

[28] M. Pasch, Einleitung in die Differential- und Integralrechnung, Teubner, 1882 | JFM

[29] M. Pasch, Vorlesungen über neuere Geometrie, Leipzig : Teubner, 1882 ; 2e édition avec un supplément de Max Dehn : Die Grundlegung der Geometrie in historischer Entwicklung, Springer, 1926, 1882 | JFM

[30] G. Peano, Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale, Bocca, 1887 | JFM

[31] G. Peano, Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H.Grassmann, preceduto dalle operazioni della logica deduttiva, Bocca, 1888, trad. anglaise de L. C. Kannenberg, Boston : Birkhäuser, 2000 | JFM | MR

[32] G. Peano, Arithmetices principia, nova methodo exposita, Bocca, 1889, trad. anglaise dans [Kennedy1973, p.101-134] | JFM

[33] G. Peano, I principii di geometria logicamente esposti, Bocca, 1889 | JFM

[34] G. Peano, “Sulla definizione dell'area d'una superficie”, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. 4 (1890), p. 54-57 | JFM

[35] G. Peano, “Sui fondamenti della geometria”, Rivista di Matematica (1894), p. 51-94 | JFM

[36] G. Peano, “Saggio di calcolo geometrico”, Atti Accad. sci. Torino 31 (1896), p. 952-975 | JFM

[37] G. Peano, “Analisi della teoria dei vettori”, Atti Accad. sci. Torino 33 (1898), p. 513-534 | JFM

[38] M. Pieri, Sur la géométrie envisagé comme un système purement logique, Bibliothèque du Congrès International de Philosophie, 3, Colin, 1967, 1901

[39] G.-C. Rota, M. Barnabei & A. Brini, “On the Exterior Calculus of Invariant Theory”, J. Algebra 96 (1985), p. 120-160 | MR | Zbl

[40] F. Rodriguez-Consuegra, The Mathematical Philosophy of Bertrand Russell : Origins and Development, Birkhäuser, 1991 | MR | Zbl

[41] B. Russell, The Principles of Mathematics (1937), Routledge, 1903 | JFM | Zbl

[42] J.-A. Serret, Cours de calcul différentiel et intégral, Gauthiers-Villars (1900), 1879 | JFM

[43] R. Torretti, Philosophy of Geometry from Riemann to Poincaré, D. Reidel Publishing Company, 1978 | MR | Zbl

[44] O. Veblen, “A system of axioms for Geometry”, Trans. Amer. Math. Soc. 5 (1904), p. 343-384 | JFM | MR

[45] A. N. Whitehead, The Axioms of Projective Geometry, Cambridge University Press, 1906, rééd. New York : Hafner, 1971 | JFM

[46] A. N. Whitehead, The Axioms of Descriptive Geometry, Cambridge University Press, 1907, rééd. New York : Hafner, 1971 | JFM | Zbl

[47] A. N. Whitehead, A Treatise on Universal Algebra With Applications, Cambridge University Press, 1898, rééd. New York : Hafner, 1960 | JFM | MR | Zbl

[48] J. Van Heijenoort, “Logic as Calculus and Logic as Language”, Synthese 17 (1967), p. 324-330 | Zbl

[49] B. Van Der Waerden, Les contributions de Peano aux théories axiomatiques de la géométrie, dans Celebrazioni in memoria di Giuseppe Peano, Turin, 1986