Fermat's method of quadrature

Paradís, Jaume; Pla, Josep; Viader, Pelegrí

Revue d'histoire des mathématiques, Tome 14 (2008) no. 1, pp. 5-51.

Le Traité des quadratures de Fermat (vers 1659), contient, outre la première démonstration connue du calcul de l’aire sous une parabole supérieure, $\int x^{+m/n}dx$, ou sous une hyperbole supérieure, $\int x^{-m/n}dx$-avec les limites d’intégration correspondants a chaque cas-, une seconde partie qui est passée presque inaperçue aux yeux de ses contemporains. Cette partie du Traité est obscure et difficile à lire. Fermat y réduit la quadrature d'un grand nombre de courbes algébriques données sous forme implicite à la quadrature connue de certaines courbes : les paraboles et hyperboles de la première partie de son article. D'autres quadratures sont obtenues par réduction à la quadrature du cercle. Nous verrons comment l'usage intelligent de deux procédés, assez nouveaux à l'èpoque, le changement de variables et un cas particulier de la formule d'intégration par parties, en fait un outil pour quarrer-assez facilement-des courbes aussi fameuses que le folium de Descartes, la cissoïde de Dioclès et la cubique (sorcière) d'Agnesi.

The Treatise on Quadrature of Fermat (c. 1659), besides containing the first known proof of the computation of the area under a higher parabola, $\int x^{+m/n}dx$, or under a higher hyperbola, $\int x^{-m/n}dx$-with the appropriate limits of integration in each case-has a second part which was mostly unnoticed by Fermat’s contemporaries. This second part of the Treatise is obscure and difficult to read. In it Fermat reduced the quadrature of a great number of algebraic curves in implicit form to the quadrature of known curves: the higher parabolas and hyperbolas of the first part of the paper. Others, he reduced to the quadrature of the circle. We shall see how the clever use of two procedures, quite novel at the time: the change of variables and a particular case of the formula of integration by parts, provide Fermat with the necessary tools to square-quite easily-as well-known curves as the folium of Descartes, the cissoid of Diocles or the witch of Agnesi.

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