La résolution des équations aux dérivées partielles dans les Opuscules mathématiques de D'Alembert (1761-1783)
Revue d'histoire des mathématiques, Tome 15 (2009) no. 1, pp. 59-122.

Au regard de la première partie de son œuvre, D'Alembert est reconnu aujourd'hui comme le fondateur de la théorie des équations aux dérivées partielles. La résolution de ces équations dans le cadre de problèmes physico-mathématiques dans ses neuf tomes d'Opuscules mathématiques (1761-1783) reste cependant peu étudiée par les historiens. Nous examinons ici cette question à la lumière de ses recherches sur les cordes vibrantes et l'écoulement des fluides dans ce corpus tardif. Celles-ci nous permettent de caractériser sa démarche ainsi que la notion de solution qui lui est attachée. Ayant des répercussions dans des domaines de recherche adjacents, ces travaux nous invitent également à reconsidérer sa position et l'évolution de sa pensée dans la polémique sur les fonctions arbitraires. Nous livrons enfin, avec cet article, un inventaire des équations aux dérivées partielles dans l'ensemble de son œuvre.

On the basis of the first part of his works, D'Alembert is nowadays considered as the founder of the theory of partial differential equations. His methods of solving these equations in physico-mathematical contexts which can be found in the nine volumes of his Opuscules mathématiques (1761-1783), however, have hardly been studied by historians. Within the scope of this article, we propose to examine this question for his research on vibrating strings and the flow of fluids in this late corpus. This study will enable us to pin down and analyze his approach and the associated concept of solving differential equations. Given the impact of these questions on related fields of research, this leads us to also reconsider his opinion and the development of his ideas with regard to the controversy on arbitrary functions. At the end of this article, we offer an inventory of partial differential equations in all of D'Alembert's works.

Classification : 01A50
Mot clés : équations aux dérivées partielles, intégration, résolution, fluides, cordes vibrantes, fonctions arbitraires
Keywords: partial differential equations, integration, solving, fluids, vibrating strings, arbitrary fonctions
@article{RHM_2009__15_1_59_0,
     author = {Guilbaud, Alexandre and Jouve, Guillaume},
     title = {La r\'esolution des \'equations aux d\'eriv\'ees partielles dans les {\protect\emph{Opuscules} math\'ematiques} de {D'Alembert} (1761-1783)},
     journal = {Revue d'histoire des math\'ematiques},
     pages = {59--122},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {15},
     number = {1},
     year = {2009},
     zbl = {1183.01011},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/item/RHM_2009__15_1_59_0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Guilbaud, Alexandre
AU  - Jouve, Guillaume
TI  - La résolution des équations aux dérivées partielles dans les Opuscules mathématiques de D'Alembert (1761-1783)
JO  - Revue d'histoire des mathématiques
PY  - 2009
SP  - 59
EP  - 122
VL  - 15
IS  - 1
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://archive.numdam.org/item/RHM_2009__15_1_59_0/
LA  - fr
ID  - RHM_2009__15_1_59_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Guilbaud, Alexandre
%A Jouve, Guillaume
%T La résolution des équations aux dérivées partielles dans les Opuscules mathématiques de D'Alembert (1761-1783)
%J Revue d'histoire des mathématiques
%D 2009
%P 59-122
%V 15
%N 1
%I Société mathématique de France
%U http://archive.numdam.org/item/RHM_2009__15_1_59_0/
%G fr
%F RHM_2009__15_1_59_0
Guilbaud, Alexandre; Jouve, Guillaume. La résolution des équations aux dérivées partielles dans les Opuscules mathématiques de D'Alembert (1761-1783). Revue d'histoire des mathématiques, Tome 15 (2009) no. 1, pp. 59-122. http://archive.numdam.org/item/RHM_2009__15_1_59_0/

[D'Alembert (1755)] Jean Le Rond D'Alembert. Observations sur deux mémoires de MM. Euler et Daniel Bernoulli insérés dans les Mémoires de 1753. Mss I-M6 et I-M7, Archiv der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, 1755.

[D'Alembert (1772)] Jean Le Rond D'Alembert. Registres Manuscrits de l'Académie des Sciences. Archives de l'Académie des science de Paris, 1772. f. 7-10.

[D'Alembert (1781a)] Jean Le Rond D'Alembert. Mémoire 59 § VI : Sur la vitesse du son et à cette occasion sur l'usage des fonctions discontinues dans la solution de ce problème et de problèmes semblables. Opuscules mathématiques, 1781a. tome inédit, Ms 1790 de la Bibliothèque de l'Institut (Paris), f. 95-160.

[D'Alembert (1781b)] Jean Le Rond D'Alembert. Mémoire 59 § VII : Sur les cordes vibrantes. Opuscules mathématiques, 1781b. tome inédit, Ms 1790 de la Bibliothèque de l'Institut (Paris), f. 271-334.

[Bernoulli (1738)] Daniel Bernoulli. Hydrodynamica, sive De Viribus et Motibus Fluidorum Commentative. Strasbourg, 1738.

[Bernoulli (1755a)] Daniel Bernoulli. Réflexions et éclaircissemens sur les nouvelles vibrations des cordes exposées dans les Mémoires de l'Académie de 1747 & 1748. HAB, pages 147-172, 1755a.

[Bernoulli (1755b)] Daniel Bernoulli. Sur le mélange de plusieurs espèces de vibrations simples isochrones, qui peuvent coexister dans un même système de corps. HAB, pages 173-195, 1755b.

[Bernoulli (1742)] Jean Bernoulli. Hydraulica nunc primum detecta ac demonstrata directe ex fundamentia pure mechanicis. Anno 1732. Opera omnia, 4, 1742. Lausanne et Genève, p. 387-493.

[Clairaut (1741a)] Alexis-Claude Clairaut. Recherches générales sur le calcul intégral. MARS, pages 425-436, 1741a.

[Clairaut (1741b)] Alexis-Claude Clairaut. Sur l'intégration ou la construction des équations différentielles du premier ordre. MARS, pages 293-323, 1741b.

[Clairaut (1743)] Alexis-Claude Clairaut. Théorie de la figure de la terre, tirée des principes de l'hydrostatique. Paris, 1743. | JFM

[Condorcet (1765)] Jean-Antoine-Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet. Du calcul intégral. Paris, 1765.

[Condorcet (1773)] Jean-Antoine-Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet. Mémoire sur les équations aux différences partielles. MARS, pages 151-178, 1773.

[Condorcet (1774)] Jean-Antoine-Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet. Sur la détermination des fonctions arbitraires qui entrent dans les intégrales des équations aux différences partielles. MARS, pages 49-74, 1774.

[Condorcet (1785)] Jean-Antoine-Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet. Partielles, équations aux différences partielles. In Encyclopédie méthodique. Mathématiques, volume II, pages 526-529. Paris, 1785.

[Cousin (1787)] Jacques-Antoine-Joseph Cousin. Introduction à l'étude de l'astronomie physique. Didot l'aîné, Paris, 1787.

[D'Alembert (1743)] Jean Le Rond D'Alembert. Traité de dynamique. Paris, 1re edition, 1743. | JFM | Zbl

[D'Alembert (1744)] Jean Le Rond D'Alembert. Traité des fluides. Paris, 1re edition, 1744.

[D'Alembert (1747)] Jean Le Rond D'Alembert. Réflexions sur la cause générale des vents. Paris, 1747.

[D'Alembert (1749a)] Jean Le Rond D'Alembert. Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration. HAB, pages 214-219, 1749a.

[D'Alembert (1749b)] Jean Le Rond D'Alembert. Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration : Suite. HAB, pages 220-249, 1749b.

[D'Alembert (1751-1765)] Jean Le Rond D'Alembert. Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences des arts et des métiers. 1751-1765. t. I-VII, Paris ; t. VIII-XVII, Neufschastel.

[D'Alembert (1752a)] Jean Le Rond D'Alembert. Addition au memoire sur la courbe que forme une corde tendüe, mise en vibration. HAB, pages 355-360, 1752a.

[D'Alembert (1752b)] Jean Le Rond D'Alembert. Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides. Paris, 1752b.

[D'Alembert (1756)] Jean Le Rond D'Alembert. Recherches sur différens points importans du systême du monde, volume III [les deux premiers tomes paraissent en 1754]. 1756.

[D'Alembert (1758)] Jean Le Rond D'Alembert. Traité de dynamique. Paris, 2e edition, 1758. | JFM | Zbl

[D'Alembert (1761a)] Jean Le Rond D'Alembert. Mémoire 1 : Recherches sur les vibrations des cordes sonores. Opuscules mathématiques, I :1-64, 1761a.

[D'Alembert (1761b)] Jean Le Rond D'Alembert. Mémoire 4 : Réflexions sur les Loix du mouvement des fluides. Opuscules mathématiques, I :137-168, 1761b.

[D'Alembert (1766)] Jean Le Rond D'Alembert. Extrait de différentes lettres de M. D'Alembert à M. De la Grange écrites pendant les années 1764 & 1765. Mémoires de l'Académie royale des sciences de Turin pour les années 1762-1765, III :381-396, 1766.

[D'Alembert (1767)] Jean Le Rond D'Alembert. Sur les tautochrones. HAB, pages 381-413, 1767.

[D'Alembert (1768a)] Jean Le Rond D'Alembert. Mémoire 25 : Nouvelles réflexions sur les vibrations des Cordes sonores. Opuscules mathématiques, IV :128-224, 1768a.

[D'Alembert (1768b)] Jean Le Rond D'Alembert. Mémoire 26 : Recherches de Calcul intégral. Opuscules mathématiques, VI :225-253, 1768b.

[D'Alembert (1768c)] Jean Le Rond D'Alembert. Mémoire 30 : Sur l'Équilibre des Fluides. Opuscules mathématiques, V :1-40, 1768c.

[D'Alembert (1768d)] Jean Le Rond D'Alembert. Mémoire 31 : Nouvelles réflexions sur les Loix du mouvement des Fluides. Opuscules mathématiques, V :41-67, 1768d.

[D'Alembert (1768e)] Jean Le Rond D'Alembert. Mémoire 33 : Sur l'équation qui exprime la loi du mouvement des Fluides. Opuscules mathématiques, V :95-131, 1768e.

[D'Alembert (1768f)] Jean Le Rond D'Alembert. Mémoire 34 § II : Sur la Vitesse du Son. Opuscules mathématiques, V :138-146, 1768f.

[D'Alembert (1770)] Jean Le Rond D'Alembert. Extrait de différentes Lettres de Mr. d'Alembert à Mr. de la Grange. HAB, pages 235-277, 1770.

[Sup. Panck.] Jean Le Rond D'Alembert. Supplément à l'Encyclopédie, volume I-IV. Panckoucke, Paris, 1776-1777.

[D'Alembert (1780a)] Jean Le Rond D'Alembert. Mémoire 56 § I : Nouvelles réflexions sur les loix de l'équilibre des fluides. Opuscules mathématiques, VIII :1-35, 1780a.

[D'Alembert (1780b)] Jean Le Rond D'Alembert. Mémoire 57 : Nouvelles Recherches sur le mouvement des Fluides dans des Vases. Opuscules mathématiques, VIII :52-230, 1780b. avec des appendices, p. 365-387.

[D'Alembert (1780c)] Jean Le Rond D'Alembert. Mémoire 58 § VI : Sur les Fonctions discontinues. Opuscules mathématiques, VIII :302-308, 1780c.

[D'Alembert (1780d)] Jean Le Rond D'Alembert. Mémoire 58 § XII : Additions aux Recherches sur la Cause des Vents. Opuscules mathématiques, VIII :327-353, 1780d.

[Encycl. Meth.] Jean Le Rond D'Alembert. Cordes (vibration des). In Encyclopédie méthodique. Mathématiques, volume I. Paris, 1784. II, Paris, 1786.

[Euler (1740a)] Leonhard Euler. De infinitis curvus eiusdem generis seu methodus inveniendi aequationes pro infinitis curvis ejusdem generis. Mémoire de l'Académie des Sciences de Pétersbourg, 7 :174-183, 1740a.

[Euler (1740b)] Leonhard Euler. Additamentum ad dissertationem de infinitis curvis ejusdem generis. Mémoire de l'Académie des Sciences de Pétersbourg, 7 :184-200, 1740b.

[Euler (1750)] Leonhard Euler. Sur la vibration des cordes. HAB, pages 69-85, 1750.

[Euler (1755)] Leonhard Euler. Remarques sur les mémoires précédens de M. Bernoulli. HAB, pages 196-222, 1755.

[Euler (1770)] Leonhard Euler. Institutionum calculi integralis volumen tertium, in quo methodus inveniendi functiones duarum et plurium variabilium, ex data relatione differentialium cujusvis gradus pertractatur. Saint-Pétersbourg, 1770.

[Lagrange (1759)] Joseph-Louis Lagrange. Recherches sur la nature, et la propagation du son. Mémoires de l'Académie royale des sciences de Turin, I :1-112, 1759.

[Lagrange (1762)] Joseph-Louis Lagrange. Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son. Mémoires de l'Académie royale des sciences de Turin, II :11-172, 1762.

[Lagrange (1766)] Joseph-Louis Lagrange. Solution de différents Problèmes de calcul intégral. Mémoires de l'Académie royale des sciences de Turin pour les années 1762-1765, III :179-380, 1766.

[Lagrange (1775)] Joseph-Louis Lagrange. Sur l'intégration des équations à différences partielles du 1er ordre. NMAB, pages 353-372, 1775.

[Lagrange (1882)] Joseph-Louis Lagrange. Œuvres complètes, volume XIII. Paris, 1882.

[Lagrange (1892)] Joseph-Louis Lagrange. Œuvres complètes, volume XIV. Paris, 1892.

[Laplace (1777)] Pierre-Simon de Laplace. Recherches sur le calcul intégral aux différences partielles. MARS, pages 341-402, 1777.

[Laplace (1778)] Pierre-Simon de Laplace. Recherches sur plusieurs points du Système du Monde. MARS, pages 75-182, 1778.

[Laplace (1782)] Pierre-Simon de Laplace. Mémoire sur les suites. MARS, pages 207-309, 1782.

[Laplace (1912)] Pierre-Simon de Laplace. Œuvres complètes, volume XIV. Paris, 1912.

[Monge (1776a)] Gaspard Monge. Mémoire sur la construction des fonctions arbitraires qui entrent dans les intégrales des équations aux différences partielles. Mémoires de Mathématiques et de Physique présentés à l'Académie Royale des Sciences, par divers Savans & lus dans ses Assemblées, VII :267-300, 1776a.

[Monge (1776b)] Gaspard Monge. Mémoire sur la détermination des fonctions arbitraires qui entrent dans les intégrales des équations aux différences partielles. Mémoires de Mathématiques et de Physique présentés à l'Académie Royale des Sciences, par divers Savans & lus dans ses Assemblées, VII :305-327, 1776b.

[Riemann (1898)] Bernhard Riemann. Sur la propagation d'ondes atmosphériques planes ayant une amplitude de vibration finie. In Œuvres Mathématiques, pages 177-206, 1898.

[Burkhardt (1908)] Heinrich Burkhardt. Entwicklungen nach oscillirenden Functionen und Integration der Differentialgleichungen der mathematischen Physik. Erster Hauptteil : Die Ausbildung der Methode der Reihenentwicklungen an physikalischen und astronomischen Problemen. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, X-2 :1-894, 1908. | JFM

[Chêne (2004)] Julien Chêne. Le son dans les Opuscules mathématiques de D'Alembert. Mémoire de dea « construction des savoirs scientifiques », Université Lyon 1, 2004.

[Chouillet and Crépel (1994)] Anne-Marie Chouillet and Pierre Crépel. Un voyage d'Italie manqué ou trois encyclopédistes réunis. Recherche sur Diderot et sur l'Encyclopédie, 17 :9-53, 1994.

[Demidov (1982)] Serge S. Demidov. Création et développement de la théorie des équations différentielles aux dérivées partielles dans les travaux de J. D'Alembert. Revue d'Histoire des Sciences, XXXV/1 :3-42, 1982. | MR | Zbl

[Demidov (1989)] Serge S. Demidov. D'Alembert et la naissance de la théorie des équations différentielles aux dérivées partielles. In Jean D'Alembert, savant et philosophe : Portrait à plusieurs voix. Actes du Colloque organisé par le Centre International de Synthèse les 15-18 juin 1983, pages 333-350, Paris, 1989.

[Dhombres (2004)] Jean Dhombres. Quelques aspects de l'histoire des équations fonctionnelles liés à l'évolution du concept de fonction. Archive for History of Exact sciences, 36 :91-181, 2004. | MR | Zbl

[Engelsman (1984a)] Steven Engelsman. Family of Curves and the Origin of Partial Differentiation. North-Holland Mathematics Studies, 93, 1984a.

[Engelsman (1984b)] Steven Engelsman. D'Alembert et les équations aux dérivées partielles. Dix-huitième siècle, 16 :27-37, 1984b.

[Gilain (1988)] Christian Gilain. Condorcet et le calcul intégral. In R. Rashed, editor, Sciences à l'époque de la Révolution française - Recherches historiques, pages 85-147, Paris, 1988.

[Gilain (1993)] Christian Gilain. Condorcet, les mathématiques et le Supplément à l'Encyclopédie. Lekton, III-1 :79-92, 1993. (publication de l'Université du Québec à Montréal).

[Greenberg (1995)] John L. Greenberg. The Problem of the Earth's Shape from Newton to Clairaut - The rise of mathematical science in eighteenth-century Paris and the fall of “normal science”. Cambridge Univ. Press, 1995. | MR | Zbl

[Grimberg (1998)] Gérard-Émile Grimberg. D'Alembert et les équations aux dérivées partielles en hydrodynamique. PhD thesis, Université Paris 7, 1998.

[Guilbaud (2007)] Alexandre Guilbaud. L'hydrodynamique dans l'œuvre tardive de D'Alembert 1766-1783 : histoire et analyse détaillée des concepts pour l'édition critique et commentée de ses Œuvres complètes et leur édition électronique. PhD thesis, Université Lyon 1, 2007.

[Houzel (2003)] Christian Houzel. Les équations aux dérivées partielles : 1740-1780. In Analyse et dynamique, étude sur l'œuvre de D'Alembert,, pages 237-258. Presses de l'Université Laval, 2003.

[Jouve (2007)] Guillaume Jouve. Les cordes vibrantes dans l'œuvre tardive de D'Alembert 1760-1783. PhD thesis, Université Lyon 1, 2007.

[Jouve (2008)] Guillaume Jouve. Le rôle de D'Alembert dans les premiers pas d'une étude programmatique des équations aux dérivées partielles (1760-1783). Bollettino di storia delle scienze matematiche, XXVIII, 2008. | Zbl

[Lavrentiev and Chabat (1952)] Mikhail Lavrentiev and Boris Chabat. Méthodes de la theorie des fonctions d'une variable complexe. Éditions Mir, Moscou, 1952.

[Lützen (1994)] Jesper Lützen. Partial differential equations. In Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, pages 452-469, London, Routledge, 1994. I. Grattan-Guiness.

[Passeron (1994)] Irène Passeron. Clairaut et la Figure de la Terre au xviiie siècle - Cristallisation d'un nouveau style autour d'une pratique physico-mathématique. PhD thesis, Université Paris 7, 1994.

[Ravetz (1987)] Jerome R. Ravetz. Vibrating strings and arbitrary fonctions. In The Logic of personal knowledge, essays presented to Michael Polanyi on his seventieth birthday, 11th March 1961, pages 71-88, London, 1987. | Zbl

[Szabó (1987)] István Szabó. Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen. Birkhäuser, 1987. | Zbl

[Taton (1947)] René Taton. Une correspondance mathématique inédite de Monge. Revue Scientifique, 85 :963-989, 1947. | MR | Zbl

[Taton (1951)] René Taton. L'Œuvre scientifique de Monge. PUF, Paris, 1951. | MR

[Truesdell (1954)] Clifford Truesdell. Editor's Introduction : Rational fluid mechanics, 1687-1765. In Leonhardi Euleri Opera Omnia, volume II/12, pages vii-cxxv, Zürich, 1954.

[Truesdell (1955)] Clifford Truesdell. Editor's Introduction. In Leonhardi Euleri Opera Omnia, volume II/13, pages ix-cxviii, Zürich, 1955.

[Truesdell (1960)] Clifford Truesdell. The rational mechanics of flexible or elastic bodies 1638-1788. In Leonhardi Euleri Opera Omnia, volume II/11, Zürich, 1960. | MR | Zbl

[Verley (1986)] Jean-Luc Verley. Les fonctions analytiques. In Jean Dieudonné, editor, Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900,, volume 1, pages 129-163. Hermann, 1986. | Zbl

[Youschkevitch (1981)] Adolf P. Youschkevitch. Le concept de fonction jusqu'au milieu du XIXe siècle. In Fragment d'histoire des mathématiques, volume 41 of Brochure A.P.M.E.P., pages 7-68, 1981.

[Youschkevitch (1975)] Adolf P. Youschkevitch. À propos de l'histoire du débat sur les cordes vibrantes (D'Alembert et l'utilisation des fonctions « discontinues »). Istoriko-matematitcheskie Issledovania, 20 :221-231, 1975.