Calcul symbolique et calcul intégral de Lagrange à Cauchy  [ Symbolic calculus and integral calculus, from Lagrange to Cauchy ]
Revue d'histoire des mathématiques, Volume 16 (2010) no. 1, p. 63-131

In a paper published in the year 1774, Lagrange used methods which were based on the analogy of positive powers and differences, and negative powers and integrals, which enabled him to obtain various formulae of integration. Then other authors entered into this way. Problems of integral calculus played an important part in the development of various methods of symbolical calculus and this one proved his efficiency in this matter: it made it possible to generalize or to quickly re-find former results, it introduced clarity into practices of numerical integration, it unified procedures of integration of different types of linear equations, it led to the solving of new partial differential equations. However the notations and the foundations themselves of the new processes remained for a long time subjects of interrogations. In the 1820s, Cauchy provided an answer in accordance with his conception of rigour: by using Fourier's integral formula, he gave the symbols of operation a precise meaning, and thus he dealt with the different types of linear equations with constant coefficients.

Dans un mémoire publié en 1774, Lagrange utilise des méthodes reposant sur l'analogie des puissances positives et des différences, et des puissances négatives et des sommes, qui lui permettent, notamment, d'obtenir diverses formules d'intégration. D'autres auteurs s'engagent alors dans cette voie. Les problèmes de calcul intégral jouent un rôle important dans le développement de diverses formes de calcul symbolique et celui-ci fait la preuve de son efficacité dans ce domaine : il permet de généraliser ou de retrouver rapidement des résultats anciens, introduit de la clarté dans des pratiques d'intégration numérique, unifie les procédures d'intégration des divers types d'équations linéaires, et conduit à la résolution de nouvelles équations aux dérivées partielles. Cependant, les notations et les fondements mêmes des nouveaux procédés restent longtemps l'objet d'interrogations. Dans les années 1820, Cauchy apporte une réponse conforme à sa conception de la rigueur : en utilisant la formule intégrale de Fourier, il donne aux symboles d'opération une signification précise, et il traite par ce moyen les divers types d'équations linéaires à coefficients constants.

Classification:  01A50,  01A55,  34-03,  35-03,  39-03,  47-03
Keywords: symbolic calculus, integral calculus, linear differential equations, analogy, Lagrange, Laplace, Lorgna, Prony, Bürmann, Lacroix, Arbogast, français, Servois, Herschel, Babbage, Fourier, Poisson, Cauchy
@article{RHM_2010__16_1_63_0,
     author = {Lubet, Jean-Pierre},
     title = {Calcul symbolique et calcul int\'egral de Lagrange \`a Cauchy},
     journal = {Revue d'histoire des math\'ematiques},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     volume = {16},
     number = {1},
     year = {2010},
     pages = {63-131},
     zbl = {1194.01017},
     mrnumber = {2674852},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/RHM_2010__16_1_63_0}
}
Lubet, Jean-Pierre. Calcul symbolique et calcul intégral de Lagrange à Cauchy. Revue d'histoire des mathématiques, Volume 16 (2010) no. 1, pp. 63-131. http://www.numdam.org/item/RHM_2010__16_1_63_0/

[Allaire & Bradley 2002] Allaire (Patricia R.) & Bradley (Robert E.) - Symbolical Algebra as a Foundation for Calculus : D. F. Gregory's Contribution, Historia Mathematica, 29 (2002), p. 395-426. | MR 1936799 | Zbl 1018.01003

[Annaratone 1997] Annaratone (Silvia) - Les premières démonstrations de la formule intégrale de Fourier, Revue d'histoire des mathématiques, 3 (1997), p. 99-136. | Numdam | MR 1465645 | Zbl 0878.01010

[Arbogast 1800] Arbogast (Louis-François-Antoine) - Du calcul des dérivations, Strasbourg, 1800.

[Babbage 1815] Babbage (Charles) - An Essay towards the Calculus of Functions, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 105 (1815), p. 389-423.

[Babbage 1816] Babbage (Charles) - An Essay towards the Calculus of Functions, Part. II, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 106 (1816), p. 179-256.

[Babbage 1817] Babbage (Charles) - Observations on the Analogy which subsists between the Calculus of Functions and other branches of Analysis, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 107 (1817), p. 197-216.

[Babbage 1821] Babbage (Charles) - Des équations fonctionnelles [texte traduit et présenté par Gergonne], Annales de mathématiques pures et appliquées, 12 (1821), p. 73-103.

[Babbage 1827] Babbage (Charles) - On the Influence of Signs in mathematical Reasoning, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 2 (1827), p. 325-377.

[Belhoste 1991] Belhoste (Bruno) - Augustin-Louis Cauchy - a biography, Springer, 1991. | MR 1107297 | Zbl 0726.01015

[Bérard 1816] Bérard (Joseph-Balthazard) - Méthode nouvelle pour quarrer les courbes, et intégrer, entre des limites données, toute fonction différentielle d'une seule variable, Annales de mathématiques pures et appliquées, 7 (1815-1816), p. 101-116.

[Boole 1859] Boole (George) - A Treatise on differential Equations, London, 1859.

[Boole 1860] Boole (George) - A Treatise on the Calculus of Finite Differences, Cambridge, 1860. | Zbl 1202.65003

[Boole 1865] Boole (George) - A Treatise on differential Equations. Supplementary Volume by the late G. Boole, Cambridge, 1865.

[Boole 1872] Boole (George) - A Treatise on the Calculus of Finite Differences, Cambridge, 2e édition, ed. by. J. F. Moulton, 1872. | MR 115026 | Zbl 1202.65003

[Bradley 2001] Bradley (Robert E.) - The Origins of Linear Operator Theory in the Work of François-Joseph Servois, Proceedings of the Canadian Society for the History and Philosophy of Mathematics, 14 (2001), p. 1-21.

[Brinkley 1807] Brinkley (John) - An Investigation of the general Term of an important Series in the inverse Method of finite Differences, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 97 (1807), p. 114-132.

[Brisson 1808] Brisson (Barnabé) - Sur l'intégration des équations différentielles partielles, Journal de l'École polytechnique, 14e cahier (1808), p. 191-261.

[Bürmann 1798] Bürmann (Heinrich) - Essai de calcul fonctionnaire aux constantes ad libitum, 1798 ; manuscrit, Archives de l'Académie des sciences de Paris, pochette de la séance du 21 Prairial an VI (= 9 juin 1798).

[Bürmann 1803] Bürmann (Heinrich) - Essai de caractéristique combinatoire, 1803 ; [Hindenburg 1803, p. 1-130].

[Carmichael 1855] Carmichael (Robert) - A Treatise on the Calculus of Operations : designed to facilitate the Processes of the differential and integral Calculus and the calculus of finite Differences, London, 1855.

[Cauchy 1882-1974] Cauchy (Augustin-Louis) - Œuvres complètes, Paris : Gauthier-Villars, 1882-1974 ; 27 vol. (séries I et II). | MR 472451 | Zbl 1204.00001

[Cauchy 1821a] Cauchy (Augustin-Louis) - Cours d'analyse de l'École polytechnique. Première partie : analyse algébrique, Paris, 1821 ; [Cauchy 1882-1974, (II) 4].

[Cauchy 1821b] Cauchy (Augustin-Louis) - Mémoire sur l'intégration des équations linéaires aux différences partielles, à coefficients constants et avec un dernier terme variable, Bulletin de la Société philomatique, 1821, p. 101-112 et 145-152 ; [Cauchy 1882-1974, (II) 2, p. 253-266 et p. 267-275].

[Cauchy 1823] Cauchy (Augustin-Louis) - Résumé des leçons données à l'École polytechnique sur le calcul infinitésimal, Paris, 1823 ; [Cauchy 1882-1974, (II) 4].

[Cauchy 1824/1850] Cauchy (Augustin-Louis) - Mémoire sur le calcul intégral, Mémoires de l'Académie des sciences, 22 (1824/1850) ; [présenté le 27 décembre 1824] ; [Cauchy 1882-1974, (I) 2, p. 195-281].

[Cauchy 1825a] Cauchy (Augustin-Louis) - Sur l'analogie des puissances et des différences, et sur l'intégration des équations linéaires, lithographie, 1825 ; [Cauchy 1882-1974, (II) 15, p. 23-40].

[Cauchy 1825b] Cauchy (Augustin-Louis) - Rapport sur un mémoire de Barnabé Brisson sur l'« Intégration des équations linéaires aux différences finies ou infiniment petites » (13 juin 1825), 1825 ; [Cauchy 1882-1974, (II) 15, p. 560-565].

[Cauchy 1827a] Cauchy (Augustin-Louis) - Sur l'analogie des puissances et des différences, Exercices de mathématiques, 1827 ; [Cauchy 1882-1974, (II) 7, p. 198-235].

[Cauchy 1827b] Cauchy (Augustin-Louis) - Addition au mémoire précédent, Exercices de mathématiques, 1827 ; [Cauchy 1882-1974, (II) 7, p. 236-254].

[Cauchy 1835] Cauchy (Augustin-Louis) - Mémoire sur l'intégration des équations différentielles, lithographie, Prague, 1835 ; [Cauchy 1882-1974, (II) 11, p. 399-465].

[Cauchy 1840] Cauchy (Augustin-Louis) - Mémoire sur l'emploi des équations symboliques dans le calcul infinitésimal et dans le calcul aux différences finies, Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris, 17 (1840) ; [Cauchy 1882-1974, (I) 8, p. 28-38].

[Cauchy 1844] Cauchy (Augustin-Louis) - Mémoire sur quelques formules relatives aux différences finies, Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris, 19 (1844) ; [Cauchy 1882-1974, (I) 8, p. 324-336].

[Cauchy 1854] Cauchy (Augustin-Louis) - Sur l'induction en Analyse et sur l'emploi des formules symboliques, Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris, 39 (1854) ; [Cauchy 1882-1974, (I) 12, p. 177-186].

[Dahan Dalmedico 1992] Dahan Dalmedico (Amy) - Mathématisations. Augustin-Louis Cauchy et l'École française, Paris : Éditions du choix, 1992. | MR 1202713 | Zbl 0826.01006

[Deakin 1981] Deakin (Michael A. B.) - The Development of the Laplace Transform, 1737-1937. I. Euler to Spitzer, 1737-1880, Archive for History of Exact Sciences, 25 (1981), p. 343-390. | MR 649489 | Zbl 0479.01006

[Dhombres 1986] Dhombres (Jean) - Quelques aspects de l'histoire des équations fonctionnelles liées à l'évolution du concept de fonction, Archive for History of Exact Sciences, 36 (1986), p. 91-181. | MR 865198 | Zbl 0601.01001

[Durand-Richard 1985] Durand-Richard (Marie-José) - George Peacock (1791-1858) : la synthèse algébrique comme loi symbolique dans l'Angleterre des réformes, Thèse, EHESS, Paris, 1985.

[Durand-Richard 1996] Durand-Richard (Marie-José) - L'École algébrique anglaise : les conditions conceptuelles et institutionnelles d'un calcul symbolique comme fondement de la connaissance, dans Goldstein (C.), Gray (J.) & Ritter (J.), éd., L'Europe mathématique - Histoires, Mythes, Identités, Paris : Éditions de la M.S.H., 1996, p. 445-477. | MR 1770140 | Zbl 0871.01021

[Durand-Richard 1998] Durand-Richard (Marie-José) - Transfert de certains outils de l'analyse mathématique entre la France et la Grande-Bretagne, La Lettre de la Maison Française d'Oxford, 9 (1998), p. 117-148.

[Fourier 1822] Fourier (Joseph) - Théorie analytique de la chaleur, Paris, 1822 ; Œuvres de Fourier, t. 1, Paris : Gauthier-Villars, 1888.

[Français 1813] Français (Jacques-Frédéric) - Mémoire tendant à démontrer la légitimité de la séparation des échelles de différentiation et d'intégration des fonctions qu'elles affectent, Annales de mathématiques pures et appliquées, 3 (1812-1813), p. 244-272.

[Friedelmeyer 1994] Friedelmeyer (Jean-Pierre) - Le calcul des dérivations d'Arbogast dans le projet d'algébrisation de l'analyse à la fin du xviiie siècle, Cahiers d'histoire et de philosophie des sciences, 43 (1994).

[Gilain 1989] Gilain (Christian) - Cauchy et le cours d'analyse de l'École polytechnique, Bulletin de la Société des Amis de la Bibliothèque de l'École polytechnique, 5 (1989), p. 3-46 ; et Documents, p. 47-145. | MR 1033089 | Zbl 0684.01006

[Gillispie 1997] Gillispie (Charles C.) - Pierre-Simon Laplace, 1749-1827 : a life in exact science, Princeton : Princeton Univ. Press, 1997. | MR 1601822 | Zbl 0917.01043

[Grattan-Guiness 1990] Grattan-Guiness (Ivor) - Convolutions in French mathematics, 1800-1840, 3 vol., Basel : Birkhäuser, 1990. | Zbl 0836.01013

[Gregory 1865] Gregory (Duncan Farquharson) - The mathematical Writings of Duncan Farquharson Gregory, Cambridge : Deighton, 1865.

[Gregory 1839] Gregory (Duncan Farquharson) - On the Solution of Partial Differential Equations, Cambridge Mathematical Journal, 1 (1839), p. 123 et suiv. ; [Gregory 1865, p. 62-72].

[Herschel 1813] Herschel (John F. William) - On equations of differences, and their application to the determination of functions from given conditions, Memoirs of the analytical Society, (65-114) 1813.

[Herschel 1814] Herschel (John F. William) - Consideration of various Points of Analysis, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 104 (1814), p. 440-467.

[Herschel 1816] Herschel (John F. William) - Appendix : on Differences and Series, 1816 ; [Lacroix 1816, p. 465-579].

[Herschel 1820] Herschel (John F. William) - A Collection of the Applications of the Calculus of Differences, Cambridge, 1820.

[Hindenburg 1803] Hindenburg (Carl Friedrich) - Über combinatorishe Analysis und Derivations-Calcul, Leipzig, 1803.

[Koppelman 1971] Koppelman (Elaine) - The Calculus of Operations and the Rise of Abstract Algebra, Archive for History of Exact Sciences, 8 (1971), p. 155-242. | MR 1554155 | Zbl 0232.01006

[Kramp 1816a] Kramp (Chrétien) - Formules nouvelles, pour l'intégration approchée de toute fonction différentielle d'une seule variable, entre deux limites données quelconques, Annales de mathématiques pures et appliquées, 6 (1815-1816), p. 281-302.

[Kramp 1816b] Kramp (Chrétien) - Deuxième recueil de formules servant à intégrer toute différentielle quelconque proposée, Annales de mathématiques pures et appliquées, 1815-1816, p. 372-387.

[Kramp 1817] Kramp (Chrétien) - Sur la manière d'intégrer, par approximation, entre deux limites données, toute fonction différentielle d'une seule variable, Annales de mathématiques pures et appliquées, 7 (1816-1817), p. 241-252.

[Lacroix 1800] Lacroix (Sylvestre-François) - Traité des différences et des séries, faisant suite au Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, Paris, 1800.

[Lacroix 1802] Lacroix (Sylvestre-François) - Traité élémentaire de calcul différentiel et de calcul intégral, Paris, 1802 ; 2e édition, revue et corrigée, Paris, 1806.

[Lacroix 1816] Lacroix (Sylvestre-François) - An elementary Treatise on the differential and integral Calculus (translated from the French by Babbage, Peacock, Herschel), Cambridge, 1816.

[Lacroix 1819] Lacroix (Sylvestre-François) - Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, 2e édition, tome III (contenant un traité des différences et des séries), Paris, 1819.

[Lagrange 1867-1892] Lagrange (Joseph-Louis) - Œuvres de Lagrange, 14 vol., Paris : Gauthier-Villars, 1867-1892.

[Lagrange 1774] Lagrange (Joseph-Louis) - Sur une nouvelle espèce de calcul relatif à la différentiation et à l'intégration des quantités variables, Nouveaux mémoires de l'Académie des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1772, 1774, p. 185-221 ; [Lagrange 1867-1892, III, p. 441-476].

[Laplace 1878-1912] Laplace (Pierre-Simon) - Œuvres complètes de Laplace, 14 vol., Paris : Gauthier-Villars, 1878-1912. | JFM 12.0635.01

[Laplace 1776] Laplace (Pierre-Simon) - Mémoire sur l'inclinaison moyenne des orbites des comètes, sur la figure de la terre et sur les fonctions, Mémoires de mathématique et de physique présentés à l'Académie des Sciences par divers savants et lus dans ses assemblées (savants étrangers), année 1773, 1776, p. 503-540 ; [Laplace 1878-1912, VIII, p. 279-321].

[Laplace 1780] Laplace (Pierre-Simon) - Mémoire sur l'usage du calcul aux différences partielles dans la théorie des suites, Mémoires de l'Académie royale des Sciences, année 1777, 1780, p. 99-122 ; [Laplace 1878-1912, IX, p. 313-335].

[Laplace 1782] Laplace (Pierre-Simon) - Mémoire sur les suites, Mémoires de l'Académie royale des Sciences, année 1779, 1782, p. 207-309 ; [Laplace 1878-1912, X, p. 1-89].

[Laplace 1785] Laplace (Pierre-Simon) - Mémoire sur les approximations des formules qui sont fonctions de très grands nombres, Mémoires de l'Académie royale des Sciences, année 1782, 1785, p. 1-88 ; [Laplace 1878-1912, X, p. 209-291].

[Laplace 1805] Laplace (Pierre-Simon) - Traité de mécanique céleste, 2e partie, livres 8-10, 1805 ; [Laplace 1878-1912, IV].

[Laplace 1811] Laplace (Pierre-Simon) - Mémoire sur les intégrales définies et leur application aux probabilités, Mémoires de l'Institut, 11 (1810-1811), p. 279-347 ; [Laplace 1878-1912, XII, p. 357-412].

[Laplace 1812/1820] Laplace (Pierre-Simon) - Théorie analytique des probabilités, Paris, 1812/1820 ; 3e édition, 1820 ; [Laplace 1878-1912, VII].

[Legendre 1811] Legendre (Adrien-Marie) - Exercices de calcul intégral, tome 1, Paris, 1811.

[Lobatto 1837a] Lobatto (Rehuel) - Mémoire sur la théorie des caractéristiques employées dans l'analyse mathématique, Amsterdam, 1837.

[Lobatto 1837b] Lobatto (Rehuel) - Mémoire sur l'intégration des équations linéaires aux différentielles et aux différences finies, Amsterdam, 1837. | JFM 17.0290.01

[Lobatto 1837c] Lobatto (Rehuel) - Mémoire sur l'intégration des équations différentielles linéaires partielles à trois variables, Amsterdam, 1837. | JFM 08.0203.01

[Lorgna 1788] Lorgna (Antonio Maria) - Théorie d'une nouvelle espèce de calcul fini et infinitésimal, Mémoires de l'Académie des sciences de Turin, 3 (1786-87), (1788), p. 409-448.

[Lusternik & Petrova 1972] Lusternik (Lazar A.) & Petrova (Svetlana S.) - Les premières étapes du calcul symbolique, Revue d'histoire des sciences, 15 (1972), p. 201-206. | Zbl 0238.01016

[Lützen 1979] Lützen (Jesper) - Heaviside's Operational Calculus and the Attempts to Rigorise it, Archive for History of Exact Sciences, 21 (1979), p. 161-200. | MR 555103 | Zbl 0419.01016

[Novy 1968] Novy (Lubos) - L'école algébrique anglaise, Revue de synthèse (III) 49-52 (1968), p. 211-222.

[Ortiz 2007] Ortiz (Eduardo L.) - Babbage and French Idéologie : Functional Equations, Language, and the analytical Method, dans Parshall (K.) & Gray (J.), éd., Episodes in the History of Modern Algebra (1800-1950), 2007, p. 13-47. | MR 2353490 | Zbl 1136.01010

[Panza 1992] Panza (Marco) - La forma della quantità, Cahiers d'histoire et de philosophie des sciences, 38-39 (1992). | MR 1205111 | Zbl 0869.01008

[Parmentier 1989] Parmentier (Marc) - G. W. Leibniz, la naissance du calcul différentiel (contenant 26 articles des Acta Eruditorum, traduits, avec introductions et notes), Paris : Vrin, 1989.

[Parseval 1806] Parseval (Marc-Antoine) - Sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux différences partielles linéaires du second ordre à coefficients constants (lu le 16 Germinal an VII), Mémoires présentés à l'Institut des sciences, lettres et arts, par divers savans. Sciences mathématiques et physiques, 1 (1806), p. 638-648.

[Pearson 1850] Pearson (James) - The elements of the calculus of finite differences : treated on the method of separation of symbols, 2e édition, Cambridge, 1850.

[Petrova 1987] Petrova (Svetlana S.) - Heaviside and the Development of the Symbolic Calculus, Archive for History of Exact Sciences, 37 (1987), p. 1-23. | MR 890824 | Zbl 0624.01006

[Petrova 1993] Petrova (Svetlana S.) - Cauchy et le calcul symbolique, Sciences et techniques en perspective, 26 (1993), p. 148-154. | MR 1329355

[Pincherle 1912] Pincherle (Salvatore) - Équations et opérations fonctionnelles, dans Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, édition française d'après l'édition allemande, sous la direction de Jules Molk t. II, vol. 5, Gauthier-Villars et Teubner, 1912.

[Poisson 1820] Poisson (Siméon-Denis) - Mémoire sur l'intégration de quelques équations linéaires aux différences partielles, et particulièrement de l'équation générale du mouvement des fluides élastiques, Mémoires de l'Académie royale des Sciences de l'Institut de France année 1818 (II) 3 (1820), p. 121-176.

[Poisson 1823] Poisson (Siméon-Denis) - Mémoire sur l'intégration des équations linéaires aux différences partielles, Journal de l'École polytechnique, 19e cahier (1823), p. 215-248.

[Prony 1797] Prony (Gaspard-C.-F.-Marie Riche de) - Suite des leçons d'Analyse. Des suites récurrentes considérées comme résultant du développement des fractions rationnelles ; rapprochement de la théorie qui résulte de ces considérations et de celle déduite du calcul intégral ; propriétés générales des suites récurrentes, Journal de l'École polytechnique, 4e cahier (1797) (Vendémiaire, Brumaire, Frimaire an IV, Paris, an V), p. 459-569.

[Schmidten 1821] Schmidten (Henri Gerner) - Mémoire sur l'intégration des équations linéaires, Annales de mathématiques pures et appliquées, 11 (1820-1821), p. 269-316.

[Servois 1814a] Servois (François-Joseph) - Essai sur un nouveau mode d'exposition des principes du calcul différentiel, Annales de mathématiques pures et appliquées, 5 (1814-1815), p. 93-140.

[Servois 1814b] Servois (François-Joseph) - Réflexions sur les divers systèmes d'exposition du calcul différentiel et, en particulier, sur la doctrine des infiniment petits, Annales de mathématiques pures et appliquées, 5 (1814-1815), p. 141-170.

[Servois 1817] Servois (François-Joseph) - Mémoire sur les quadratures, Annales de mathématiques pures et appliquées, 8 (1817-1818), p. 73-115.

[Stamhuis 1988] Stamhuis (Ida H.) - A Nineteenth Century Dutch Mathematician : Rehuel Lobatto (1797-1866), Nieuw Archief voor Wiskunde (IV) 6 (1988), p. 227-245. | MR 989072 | Zbl 0672.01034

[Todhunter 1865] Todhunter (Isaac) - A History of the Mathematical Theory of Probability, from the time of Pascal to that of Laplace, 1865 ; réimpr. New York : Chelsea Publishing Company, 1949.

[Woodhouse 1802] Woodhouse (Robert) - On the Independence of the analytical and geometrical Methods of Investigation ; and on the Advantages to be derived from their Separations, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 92 (1802), p. 85-125.