Sur la nature arithmétique des valeurs de fonctions modulaires

Waldschmidt, Michel

Séminaire Bourbaki : volume 1996/97, exposés 820-834, Astérisque, no. 245 (1997), Exposé no. 824, 36 p.

@incollection{SB_1996-1997__39__105_0,
     author = {Waldschmidt, Michel},
     title = {Sur la nature arithm\'etique des valeurs de fonctions modulaires},
     booktitle = {S\'eminaire Bourbaki : volume 1996/97, expos\'es 820-834},
     series = {Ast\'erisque},
     note = {talk:824},
     pages = {105--140},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     number = {245},
     year = {1997},
     mrnumber = {1627109},
     zbl = {0908.11029},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/item/SB_1996-1997__39__105_0/}
}

TY  - CHAP
AU  - Waldschmidt, Michel
TI  - Sur la nature arithmétique des valeurs de fonctions modulaires
BT  - Séminaire Bourbaki : volume 1996/97, exposés 820-834
AU  - Collectif
T3  - Astérisque
N1  - talk:824
PY  - 1997
SP  - 105
EP  - 140
IS  - 245
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://archive.numdam.org/item/SB_1996-1997__39__105_0/
LA  - fr
ID  - SB_1996-1997__39__105_0
ER  -

%0 Book Section
%A Waldschmidt, Michel
%T Sur la nature arithmétique des valeurs de fonctions modulaires
%B Séminaire Bourbaki : volume 1996/97, exposés 820-834
%A Collectif
%S Astérisque
%Z talk:824
%D 1997
%P 105-140
%N 245
%I Société mathématique de France
%U http://archive.numdam.org/item/SB_1996-1997__39__105_0/
%G fr
%F SB_1996-1997__39__105_0

Waldschmidt, Michel. Sur la nature arithmétique des valeurs de fonctions modulaires, dans Séminaire Bourbaki : volume 1996/97, exposés 820-834, Astérisque, no. 245 (1997), Exposé no. 824, 36 p. http://archive.numdam.org/item/SB_1996-1997__39__105_0/

Bibliographie
Cité par

[1] K. Barré-Sirieix, G. Diaz, F. Gramain, G. Philibert - Une preuve de la conjecture de Mahler-Manin, Invent. Math. 124 (1996), 1-9. | DOI | MR | Zbl

[2] Yu. V. Nesterenko - Modular functions and transcendence questions, Mat. Sb., 187 N° 9 (1996), 65-96. Engl. Transl., Sbornik Math., 187 N° 9 (1996), 1319-1348. | MR | Zbl

[3] Yu. V. Nesterenko - Modular functions and transcendence problems - Un théorème de transcendance sur les fonctions modulaires, C. R. Acad. Sc. Paris, Sér. 1 322 (1996), 909-914. | MR | Zbl

[4] Th. Schneider - Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale, Math. Ann. 113 (1937), 1-13. | DOI | EuDML | JFM | MR

[5] Th. Schneider - Einführung in die transzendenten Zahlen, Springer-Verlag 1957 (en allemand) ; trad. franç. : Introduction aux nombres transcendants, Gauthier-Villars 1959. | DOI | MR | Zbl

[6] K. Mahler - Remarks on a paper by W. Schwarz, J. Number Theory 1 (1969), 512-521. | DOI | MR | Zbl

[7] Yu. Manin - Cyclotomic fields and modular curves, Usp. Mat. Nauk 26 N°6 (1971), 7-71 (en russe) ; trad. angl. : Russian Math. Surveys 26 (1971), 7-78. | MR | Zbl

[8] B. Mazur, J. Tate and J. Teitelbaum - On $p$ -adic analogs of the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer, Invent. Math. 84 (1986), 1-48. | DOI | EuDML | MR | Zbl

[9] H. Hida, J. Tilouine, E. Urban - Adjoint modular Galois representations and their Selmer groups, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 94 (1997), 4249-4252. | DOI | MR | Zbl

[10] K. Mahler - Arithmetische Eigenschaften einer Klasse transzendental-transzendenter Funktionen, Math. Z. 32 (1930), 545-585. | DOI | EuDML | JFM | MR

[11] K. Nishioka - Mahler's functions and transcendence, Lecture Notes in Math. 1631 Springer-Verlag (1996). | MR | Zbl

[12] P. Bundschuh - Quelques résultats arithmétiques sur les fonctions thêta de Jacobi, Groupe d'Etude sur les Problèmes Diophantiens, 1983-84, fasc. 1, Publ. Univ. P. et M. Curie 64 (1984), n°1, 15 pp.

[13] F. Gramain, M. Mignotte et M. Waldschmidt - Valeurs algébriques de fonctions analytiques, Acta Arith. 47 (1986), 97-121. | DOI | EuDML | MR | Zbl

[14] I. Wakabayashi - Algebraic values of functions on the unit disk, Proc. Prospects of Math. Sci., World Sci. Pub. (1988), 235-266. | MR | Zbl

[15] P. Bundschuh et M. Waldschmidt - Irrationality results for theta functions by Gel'fond-Schneider's method, Acta Arith. 53 (1989), 73-91 et 78 (1996), 99. | EuDML | MR | Zbl

[16] G. Wüstholz - Algebraische Unabhängigkeit von Werten von Funktionen, die gewissen Differentialgleichungen genügen, J. reine angew. Math. 317 (1980),102- 119. | EuDML | MR | Zbl

[17] C. L. Siegel - Über die Perioden elliptischer Funktionen, J. reine angew. Math. 167 (1932), 62-69. | EuDML | Zbl

[18] Th. Schneider - Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale, J. reine angew. Math. 183 (1941), 110-128. | EuDML | JFM | MR

[19] D. W. Masser - Elliptic functions and transcendence, Springer-Verlag, Lecture Notes in Math. 437 (1975). | MR | Zbl

[20] G. V. Chudnovskij - Algebraic independence of constants connected with exponential and elliptical functions, Dokl. Ukr. SSR Ser. A 8 (1976), 698-701 (en russe) ; résumé angl. p. 767. | MR | Zbl

[21] G. V. Chudnovsky - Algebraic independence of values of exponential and elliptic functions, Proc. Intern. Cong. Math. Helsinki 1 (1978), 339-350. | MR | Zbl

[22] G. V. Chudnovsky - Contributions to the theory of transcendental numbers, Math. Surveys and Monographs N°19, Amer. Math. Soc., 1984, 450 pp. | MR | Zbl

[23] M. Waldschmidt - Les travaux de G. V. Čudnovskiĭ sur les nombres transcendants, Sém. Bourbaki 28ème année (1975/76), N° 488 ; Springer-Verlag, LectureNotes in Math. 567 (1977), 274-292. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[24] Y. André - $G$ -fonctions et transcendance, J. reine angew. Math. 476 (1996), 95-125. | EuDML | MR | Zbl

[25] J. M. Borwein and I. J. Zucker - Fast evaluation of the gamma function for small rational fractions using complete elliptic integrals of the first kind, IMA Journal of Numerical Analysis 12 (1992), 519-526. | DOI | MR | Zbl

[26] S. Lang - Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Math. 59 Springer-Verlag 1978 | DOI | Zbl

[27] S. Chowla and A. Selberg - On Epstein's zeta function, J. reine angew. Math. 227 (1966), 97-110. | EuDML | MR | Zbl

[28] B. Gross - On the periods of abelian integrals and a formula of Chowla and Selberg, Invent. Math. 45 (1978), 193-208. | DOI | EuDML | MR | Zbl

[29] N. Koblitz and D. E. Rohrlich - Simple factors in the Jacobian of a Fermat curve, Canad. J. Math. 30 (1978), 1183-1205. | DOI | MR | Zbl

[30] N. Koblitz - Gamma function identities and elliptic differentials on Fermat curves, Duke Math. J. 45 (1978), 87-99. | DOI | MR | Zbl

[31] D. Bertrand - Séries d'Eisenstein et transcendance, Bull. Soc. Math. France 104 (1976), 309-321.puis de ceux de Chudnovsky : | DOI | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[32] D. Bertrand - Fonctions modulaires, courbes de Tate et indépendance algébrique, Sém. Delange-Pisot-Poitou (Théorie des Nombres) 19ème année (1977/78), n°36, 11 pp. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[33] D. Bertrand - Modular functions and algebraic independence, Proc. Conf. p-adic analysis, Nijmegen 1978, Kath. Univ. Report n°7806. | MR

[34] D. Bertrand - Fonctions modulaires et indépendance algébrique II, Journées Arithmétiques Luminy, Soc. Math. France, Astérisque 61 (1979), 29-34. | Numdam | MR | Zbl

[35] S. Lang - Transcendental numbers and diophantine approximations, Bull. Amer. Math. Soc. 77 (1971), 635-677. | DOI | MR | Zbl

[36] D. Bertrand - Theta functions and transcendence, Madras Number Theory Symposium 1996, The Ramanujan J., 1 (1997), 339-350. | DOI | MR | Zbl

[37] D. Duverney, K. Nishioka, K. Nishioka and I. Shiokawa - Transcendence of Jacobi's theta series, Proc. Japan. Acad. Sc., 72, Sér. A (1996), 202-203 ; Transcendence of Jacobi's theta series and related results, in "Number Theory - Diophantine, Computational and Algebraic Aspects", K. Györy, A. Pethö And V. T. Sòs, eds., Proc. Conf. Number Theory Eger 1996, W. De Gruyter, à paraître ; Transcendence of Roger-Ramanujan continued fraction and reciprocal sums of Fibonacci numbers, Proc. Japan. Acad. Sc., à paraître. | DOI | MR | Zbl

[38] J. Liouville - Sur des classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques, J. Math. Pures App. 16 (1851), 133-142 | EuDML | Numdam

[39] P. Bundschuh - Ein Satz über ganze Funktionen und Irrationalitätsausagen, Invent. Math. 9 (1970), 175-184. | DOI | EuDML | MR | Zbl

[40] P. Bundschuh - Zwei Bemerkungen über transzendente Zahlen, Mh. Math. 88 (1979), 293-304. | DOI | EuDML | MR | Zbl

[41] K. Mahler - On algebraic differential equations satisfied by automorphic functions, J. Austral. Math. Soc. 10 (1969), 445-450. | DOI | MR | Zbl

[42] K. Nishioka - A conjecture of Mahler on automorphic functions, Arch. Math. 53 (1989), 46-51. | DOI | MR | Zbl

[43] K. Mahler - On the coefficients of the 2n-th transformation polynomial for j(ω), Acta Arith. 21 (1972), 89-97. | DOI | EuDML | Zbl

[44] K. Mahler - On the coefficients of transformation polynomials for the modular function, Bull. Austral. Math. Soc. 10 (1974), 197-218. | DOI | MR | Zbl

[45] P. Cohen - On the coefficients of the transformation polynomials for the elliptic modular function, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 95 (1984), 389-402. | DOI | MR | Zbl

[46] S. Lang - Nombres transcendants, Sém. Bourbaki 18ème année (1965/66), N° 305. | Numdam | Zbl

[47] S. Lang - Introduction to transcendental numbers, Addison-Wesley series in Math., Addison-Wesley 1966. | MR | Zbl

[48] K. Ramachandra - Contributions to the theory of transcendental numbers (I), Acta Arith. 14 (1968), 65-72 ; (II), id., 73-88. | DOI | EuDML | MR | Zbl

[49] J-P. Serre - Dépendance d'exponentielles $p$ -adiques, Sém. Delange-Pisot-Poitou (Théorie des Nombres) 7ème année (1965/66), n° 15. | EuDML | Numdam | Zbl

[50] D. Bertrand - Valeurs de fonctions thêta et hauteurs $p$ -adiques, Sém. Th. Nombres, Paris 1980-81, (Séminaire Delange-Pisot-Poitou), Progress in Math. 22, Birkhäuser Verlag (1982), 1-11. | Zbl

[51] G. Diaz - La conjecture des quatre exponentielles et les conjectures de D. Bertrand sur la fonction modulaire, J. Th. Nombres Bordeaux, 9 (1997), 229- 245. | DOI | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[52] A. Faisant et G. Philibert - Quelques résultats de transcendance liés à l'invariant modulaire $j$ , J. Number Theory 25 (1987), 184-200. | DOI | MR | Zbl

[53] G. Philibert - Une mesure d'indépendance algébrique, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 38 (1988), 85-103. | DOI | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[54] K. Barré - Mesures de transcendance pour l'invariant modulaire, C. R. Acad. Sc. Paris, Sér. 1 323 (1996), 447-452. | MR | Zbl

[55] K. Barré - Mesure d'approximation simultanée de $q$ et $J (q)$ , J. Number Theory, à paraître. | Zbl

[56] P. Philippon - Indépendance algébrique et $K$ -fonctions, J. reine angew. Math., à paraître. | MR | Zbl

[57] P. Philippon - Une approche méthodique pour la transcendance et l'indépendance algébrique de valeurs de fonctions analytiques, J. Number Theory, 64 (1997), 291-338. | DOI | MR | Zbl

[58] M. Laurent - New methods in algebraic independence, Proc. Conf. Number Theory Eger 1996, à paraître. | Zbl

[59] Yu. V. Nesterenko - Estimates of the orders of zeros of analytic functions of a certain class and their application to the theory of transcendental numbers, Dokl. Akad. Nauk SSSR 205 (1972) ; trad. angl. Soviet Math. Dokl. 13 (1972), 938-942. | Zbl

[60] Yu. V. Nesterenko - Estimates for the orders of zeros of functions of a certain class and application in the theory of transcendental numbers, Izv. Akad. Nauk SSSR 41 (1977) ; trad. angl. Math. USSR Izv. 11 (1977), 239-270. | Zbl

[61] D. W. Masser - A vanishing theorem for power series, Invent. Math. 67 (1982), 275-296. | DOI | EuDML | MR | Zbl

[62] D. W. Masser - Zero estimates on group varieties, Proc. Intern. Cong. Math. Warszawa (1983), 493-502. | MR | Zbl

[63] P. Philippon - Lemme de zéros dans les groupes algébriques commutatifs, Bull. Soc. Math. France 114 (1986), 355-383, et 115 (1987), 397-398. | DOI | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[64] D. Bertrand - Lemmes de zéros et nombres transcendants, Sém. Bourbaki, 38ème Année 1985-86, N° 652 ; Soc. Math. France, Astérisque, 145-146 (1987), 21-44. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[65] Yu. V. Nesterenko - Estimates for the number of zeros of certain functions, in New Advances in Transcendence Theory, Proc. Conf. Durham 1986, ed. A. Baker, Cambridge Univ. Press (1988), 263-269. | MR | Zbl

[66] Yu. V. Nesterenko - Bounds for the number of zeroes of functions of a certain class, Acta Arith. 53 (1989), 29-46 (en russe). | MR | Zbl

[67] Yu. V. Nesterenko - Algebraic independence of values of analytic functions, Proc. Intern. Cong. Math. Kyoto (1990), 447-457. | MR | Zbl

[68] G. Philibert - Un lemme de zéros pour l'invariant modulaire, J. Number Theory, à paraître.

[69] P. Philippon - Critères pour l'indépendance algébrique, Inst. Hautes Et. Sci. Publ. Math. 64 (1986), 5-52. | DOI | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[70] E. M. Jabbouri - Sur un critère pour l'indépendance algébrique de P. Philippon, Approximations diophantiennes et nombres transcendants, Luminy 1990, éd. P. Philippon, W. De Gruyter, 1992, 285-307. | MR | Zbl

[71] M. Ably - Résultats quantitatifs d'indépendance algébrique pour les groupes algébriques, J. Number Theory 42 (1992), 194-231. | DOI | MR | Zbl

[72] C. Jadot. - Critères pour l'indépendance algébrique et linéaire, Thèse, Univ. P. et M. Curie (Paris VI), 1996.

[73] S. Ramanujan - On certain arithmetical functions, Trans. Camb. Phil. Soc. 22 (1916), 159-184; Collected Papers of Srinivasa Ramanujan, Chelsea Publ., N.Y. 1927, N°18, 136-162. | MR

[74] J-P. Serre - Cours d'arithmétique, Coll. SUP, Presses Univ. France, 1970; trad. angl. : A course in arithmetic, Graduate Texts in Math. 7 Springer-Verlag 1973. | Zbl

[75] S. Lang - Elliptic functions, Springer-Verlag 1973. | MR | Zbl

[76] S. Lang - Introduction to modular forms, Springer-Verlag 1976. | MR | Zbl

[77] K. Chandrasekharan - Elliptic functions, Grund. der math. Wiss. 281 Springer-Verlag 1985. | MR | Zbl

[78] M. Kaneko - The Fourier coefficients and the singular moduli of the elliptic modular function j(τ), Mem. Fac. Engin. Design Kyoto Inst. Tech. 44 (1996), 1-5. | Zbl

[79] Y. Morita - On transcendency of special values of arithmetic automorphic functions, J. Math. Soc. Japan 24 (1972), 268-274. | DOI | MR | Zbl

[80] H. Shiga et J. Wolfart - Criteria for complex multiplication and transcendence properties of automorphic functions, J. reine angew. Math. 463 (1995), 1-25. | EuDML | MR | Zbl

[81] P. Beazley Cohen - Humbert surfaces and transcendence properties of automorphic functions, Rocky Mountain J. Math. 26 (1996), 987-1002. | DOI | MR | Zbl

[82] D. Thakur - Automata style proof of Voloch's result on transcendence, J. Number Theory 58 (1996), 60-63. | DOI | MR | Zbl

[83] J. F. Voloch - Transcendence of elliptic modular functions in characteristic p, J. Number Theory 58 (1996), 55-59. | DOI | MR | Zbl