Groupes de Galois de corps de type fini

Szamuely, Tamás

Séminaire Bourbaki : volume 2002/2003, exposés 909-923, Astérisque, no. 294 (2004), Exposé no. 923, pp. 403-431.

Il y a quelques années, Florian Pop a démontré que tout corps de type fini sur le corps premier est déterminé à isomorphisme près par son groupe de Galois absolu (quitte à passer à une extension purement inséparable en caractéristique positive). Ce théorème, dont la généalogie remonte à des travaux de Neukirch sur les groupes de Galois de corps de nombres au début des années 1970, répond positivement à la “conjecture anabélienne birationnelle”de A. Grothendieck formulée en 1983. Dans un travail en cours, Pop étend le résultat à un corps de type fini, de dimension au moins 2, sur la clôtelques années, Florian Pop a démontré que tout corps de type fini sur le corps premier est déterminé à isomorphisme près par son groupe de Galois absolu (quitte à passer à une extension purement inséparable en caractéristique positive). Ce théorème, dont la généalogie remonte à des travaux de Neukirch sur les groupes de Galois de corps de nombres au début des années 1970, répond positivement à la “conjecture anabelienne birationnelle” de A. Grothendieck formulée en 1983. Dans un traure algébrique du corps premier ; le cas de dimension 2 a été également traité récemment par Bogomolov et Tschinkel. L'exposé passera en revue les résultats obtenus dans ce domaine et donnera les grandes idées des démonstrations de Pop.

Some years ago, Florian Pop showed that a field which is finitely generated over its prime field is determined up to isomorphism by its absolute Galois group (allowing a finite purely inseparable extension in positive characteristic). This theorem, whose pedigree can be traced back to investigations by Neukirch concerning Galois groups of number fields in the early 1970's, gives a positive answer to the so-called “birational anabelian conjecture”of A. Grothendieck formulated in 1983. In work in progress, Pop extends the above result to fields of finite type and of dimension at least 2 over the algebraic closure of the prime field; the case of dimension 2 was also considered recently by Bogomolov et Tschinkel. The lecture will survey the known results in the area and then present the main ideas entering Pop's proofs.

Classification : 12F10, 14E20, 14H25, 14J20
Mot clés : groupe de Galois absolu, corps de fonctions, géométrie anabélienne
Keywords: absolute Galois group, function field, anabelian geometry

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