Correspondances de Hecke, action de Galois et la conjecture d'André-Oort

Noot, Rutger

Séminaire Bourbaki : volume 2004/2005, exposés 938-951, Astérisque, no. 307 (2006), Exposé no. 942, pp. 165-197.

Soient $M$ une variété de Shimura, $Z\subset M$ fermée et irréductible et $S\subset Z\left(ℂ\right)$ un ensemble Zariski dense de points spéciaux. Selon la conjecture d’André-Oort, $Z$ est une sous-variété de type Hodge. Par exemple, si $M$ est un espace de modules de variétés abéliennes, $S$ est un ensemble de points correspondant à des variétés de type CM et $Z$ doit paramétrer des variétés abéliennes munies de certaines classes de Hodge. En utilisant les actions de l’algèbre de Hecke et du groupe de Galois, Edixhoven et Yafaev montrent certains cas de la conjecture.

Let $M$ be a Shimura variety, $Z$ an irreducible closed subset of $M$ and $S\subset Z\left(ℂ\right)$ a Zariski dense set of special points. The André-Oort conjecture states that $Z$ is a subvariety of Hodge type. For instance, if $M$ is a moduli space of abelian varieties, then $S$ is a set of points corresponding to abelian varieties of CM-type and $Z$ should parametrize a family of abelian varieties characterized by certain Hodge classes. Edixhoven and Yafaev have proved special cases of this conjecture using the actions of the Hecke algebra and of the Galois group.

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