Progressions arithmétiques dans les nombres premiers [d'après B. Green et T. Tao]
Séminaire Bourbaki : volume 2004/2005, exposés 938-951, Astérisque, no. 307 (2006), Exposé no. 944, pp. 229-246.

Récemment, B. Green et T. Tao ont montré que : l'ensemble des nombres premiers contient des progressions arithmétiques de toutes longueurs répondant ainsi à une question ancienne à la formulation particulièrement simple. La démonstration n'utilise aucune des méthodes “transcendantes” ni aucun des grands théorèmes de la théorie analytique des nombres. Elle est écrite dans un esprit proche de celui de la théorie ergodique, en particulier de celui de la preuve par Furstenberg du théorème de Szemerédi, mais elle n'utilise aucun théorème provenant de cette théorie. La méthode peut ainsi être considérée comme “élémentaire”, ce qui ne veut pas dire facile. On se propose de présenter l'organisation générale de la preuve sans développer les calculs.

B. Green and T. Tao have recently proved that the set of primes contains arbitrary long arithmetic progressions, answering to an old question with a remarkably simple formulation. The proof does not use any “transcendental” method and any of the deep theorems of analytic number theory. It is written in a spirit close to ergodic theory and in particular of Furstenberg's proof of Szemerédi's Theorem, but it does not use any result of this theory. Therefore the method can be considered as elementary, which does not mean easy. We entend here to present the mains ideas of this proof.

Classification : 11N13, 11B25, 37A5
Mot clés : progressions arithmétiques, nombres premiers
Keywords: arithmetic progressions, prime numbers
@incollection{SB_2004-2005__47__229_0,
     author = {Host, Bernard},
     title = {Progressions arithm\'etiques dans les nombres premiers [d'apr\`es {B.} {Green} et {T.} {Tao]}},
     booktitle = {S\'eminaire Bourbaki : volume 2004/2005, expos\'es 938-951},
     series = {Ast\'erisque},
     note = {talk:944},
     pages = {229--246},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     number = {307},
     year = {2006},
     mrnumber = {2296420},
     zbl = {1175.11052},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/item/SB_2004-2005__47__229_0/}
}
TY  - CHAP
AU  - Host, Bernard
TI  - Progressions arithmétiques dans les nombres premiers [d'après B. Green et T. Tao]
BT  - Séminaire Bourbaki : volume 2004/2005, exposés 938-951
AU  - Collectif
T3  - Astérisque
N1  - talk:944
PY  - 2006
SP  - 229
EP  - 246
IS  - 307
PB  - Société mathématique de France
UR  - http://archive.numdam.org/item/SB_2004-2005__47__229_0/
LA  - fr
ID  - SB_2004-2005__47__229_0
ER  - 
%0 Book Section
%A Host, Bernard
%T Progressions arithmétiques dans les nombres premiers [d'après B. Green et T. Tao]
%B Séminaire Bourbaki : volume 2004/2005, exposés 938-951
%A Collectif
%S Astérisque
%Z talk:944
%D 2006
%P 229-246
%N 307
%I Société mathématique de France
%U http://archive.numdam.org/item/SB_2004-2005__47__229_0/
%G fr
%F SB_2004-2005__47__229_0
Host, Bernard. Progressions arithmétiques dans les nombres premiers [d'après B. Green et T. Tao], dans Séminaire Bourbaki : volume 2004/2005, exposés 938-951, Astérisque, no. 307 (2006), Exposé no. 944, pp. 229-246. http://archive.numdam.org/item/SB_2004-2005__47__229_0/

[1] P. Erdös & T. Turán - “On some sequences of integers”, 11 (1936), p. 261-264. | JFM | MR | Zbl

[2] H. Furstenberg - “Ergodic behavior of diagonal measures and a theorem of Szemerédi on arithmetic progressions”, J. Analyse Math. 31 (1977), p. 204-256. | DOI | MR | Zbl

[3] H. Furstenberg, Y. Katznelson & D. Ornstein - “The ergodic theoretical proof of Szemerédi's theorem”, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 7 (1982), p. 527-552. | MR | Zbl

[4] D. Goldston & C. Y. Yıldırım - “Small Gaps Between Primes I”, prépublication ; arXiv : math.NT/0504336. | Zbl

[5] T. Gowers - “A new proof of Szemerédi's theorem”, 11 (2001), p. 465-588. | MR | Zbl

[6] B. Green & T. Tao - “The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions”, Ann. of Math. (2) (2004), à paraître ; arXiv : math.NT/0404188. | MR | Zbl

[7] G. H. Hardy & J. E. Littlewood - “Some problems of “partition numerorum” III : on the expression of a number as a sum of primes”, Acta Arith. 44 (1923), p. 1-70. | JFM | MR

[8] B. Host & B. Kra - “Nonconventional ergodic averages and nilmanifolds”, Ann. of Math. (2) 161 (2005), p. 397-488. | MR | Zbl

[9] E. Szemerédi - “On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression”, Acta Arith. 27 (1975), p. 199-245. | DOI | EuDML | MR | Zbl

[10] T. Tao - “A quantitative ergodic proof of Szemerédi's theorem”, Electron. J. Combin., à paraître ; arXiv : math.CO/0405251. | MR | Zbl

[11] -, “A remark on Goldston-Yıldırım correlation estimates”, prépublication disponible à : http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints.

[12] J. G. Van Der Corput - “Über Summen von Primzahlen und Primzahlquadraten”, Math. Ann. 116 (1939), p. 1-50. | DOI | EuDML | JFM | MR | Zbl