[On finite dimensional representations of the Lie superalgebra ]
The category of the finite dimensional representations of the Lie superalgebra is not semi-simple. It has a decomposition in infinitely many blocks and we have been wanting to understand their structure since V. Kac’s work, in 1977. Vera Serganova gives an answer to this problem which is almost complete. She makes use of the ideas developped by Bernstein-Bernstein-Gelfand when they studied the category for the classical case. Since there are no analogues of Kostant and Borel-Weil-Bott theorems in the supercase, she works with the so-called “geometric induction” in order to prove her theorems.
La catégorie des modules de dimension finie sur la super algèbre de Lie n’est pas semi-simple. Elle se décompose en une infinité de blocs, dont on cherche depuis les travaux de Kac en 1977 à comprendre la structure. Vera Serganova apporte une réponse presque complète à ce problème, formulée selon le cercle d’idées introduites par Bernstein, Gelfand et Gelfand pour étudier la catégorie dans le cas classique ; ne disposant pas pour d’analogues des théorèmes de Kostant et de Borel-Weil-Bott, elle utilise pour démontrer ses résultats des méthodes d’“induction géométrique”.
Mot clés : représentations des superalgèbres de Lie, formule des caractères
Keywords: representations of Lie superalgebras, character formula
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Gruson, Caroline. Sur les représentations de dimension finie de la super algèbre de Lie $\mathfrak {gl}(m,n)$, in Séminaire Bourbaki : volume 2005/2006, exposés 952-966, Astérisque, no. 311 (2007), Talk no. 963, pp. 321-340. http://archive.numdam.org/item/SB_2005-2006__48__321_0/
[1] “A certain category of -modules”, Funct. Anal. Appl. 10 (1976), no. 2, p. 87-92.
, & -[2] “A formula for the characters of the irreducible finite-dimensional representations of Lie superalgebras of series and ”, C. R. Acad. Bulg. Sci. 33 (1980), no. 8, p. 1049-1051. | MR | Zbl
& -[3] Groupes et algèbres de Lie, chapitres 4, 5 et 6, Masson, Paris, 1981. | MR | Zbl
-[4] “Kazhdan-Lusztig polynomials and character formulae for the Lie superalgebra ”, J. Amer. Math. Soc. 16 (2003), no. 1, p. 185-231 (electronic). | MR | Zbl
-[5] Algèbres enveloppantes, Gauthier-Villars, Paris, 1974. | MR | Zbl
-[6] Schubert varieties and degeneracy loci, Lect. Notes in Math., vol. 1689, Springer-Verlag, Berlin, 1998, appendice J en collaboration avec I. Ciocan-Fontanine. | DOI | MR | Zbl
& -[7] Representations of algebraic groups, 2nde 'ed., Mathematical Surveys and Monographs, vol. 107, Amer. Math. Soc., Providence, 2003. | MR | Zbl
-[8] “Representations of classical Lie superalgebras”, in Differential geometrical methods in mathematical physics II (Bonn 1977), Lect. Notes in Math., vol. 676, Springer, Berlin, 1978, p. 597-626. | MR | Zbl
-[9] “Lie superalgebras”, Adv. Math. 26 (1977), no. 1, p. 8-96. | MR | Zbl
-[10] Introduction to quantum groups, Progress in Math., vol. 110, Birkhäuser Boston Inc., Boston, 1993. | MR | Zbl
-[11] “Borel-Weil-Bott theory for classical Lie supergroups”, in Current problems in mathematics. Newest results, Itogi Nauki i Tekhniki, vol. 32, Akad. Nauk SSSR Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Inform., Moscow, 1988, traduit dans J. Soviet Math. 51 (1990), p. 71-124. | MR | Zbl
-[12] “Kazhdan-Lusztig polynomials and character formula for the Lie superalgebra ”, Selecta Math. (N.S.) 2 (1996), no. 4, p. 607-651. | MR | Zbl
-[13] -, “Characters of irreducible representations of simple Lie superalgebras”, in Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Berlin 1998), 1998, Doc. Math., extra vol. II, p. 583-593 (electronic). | MR | Zbl
[14] “Kazhdan-Lusztig polynomials for Lie superalgebra ”, in I. M. Gelʼfand Seminar, Adv. Soviet Math., vol. 16, Amer. Math. Soc., Providence, 1993, p. 151-165. | MR | Zbl
-[15] “The invariant polynomials on simple Lie superalgebras”, Represent. Theory 3 (1999), p. 250-280 (electronic). | MR | Zbl
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