Star Produits Holomorphes

Boutet de Monvel, Louis

Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (1998-1999), Exposé no. 2, 17 p.

Dans cet article nous rappelons la définition d’un star-produit, et étudions et classifions les star-produits sur un fibré cotangent complexe. Ce sujet a fait l’objet d’une conférence en l’honneur de V. Guillemin en septembre 1998 ; il est dévelopé plus en détail dans [2]. Cet article est dédié à la mémoire de M. Flato et A. Lichnerowicz, disparus peu de temps après la conférence, et qui ont grandement contribué au sujet.

[1] Bayen F., Flato M., Fronsdal C., Lichnerowicz A., Sternheimer D. - Deformation theory and quantization I, II, Ann. Phys 111 (1977), 61-131. | MR | Zbl

[2] Boutet de Monvel L.- Complex Star Products, à paraître dans Math Phys. Analysis and Geometry n${}^o$2, 1999.

[3] Boutet de Monvel L.- On the index of Toeplitz operators of several complex variables, Inventiones Math. 50 (1979) 249-272. | MR | Zbl

[4] Boutet de Monvel L.- Star Products on Conic Poisson Manifolds of constant rank, Mat. Fiz. Anal. Geom. (Kharkov), t.2, n${}^o$2 1-9 (1995). | MR | Zbl

[5] Boutet de Monvel L. - Symplectic cones and Toeplitz operators. Actes du congrès en l’honneur de Trèves, Sao Carlos, Contemporary Math., vol. 205 (1997) 15-24. | Zbl

[6] Boutet de Monvel L. - Guillemin V. - The Spectral Theory of Toeplitz Operators, Ann. de Math Studies n${}^o$99, Princeton University Press, 1981. | MR | Zbl

[7] Boutet de Monvel L. - Krée K. - Pseudodifferential operators and Gevrey classes, Ann. Inst. Fourier 17 (1967), 295-323. | Numdam | MR | Zbl

[8] Carette M. - Exotic $𝒟$-modules in dimension 2, (thèse Paris VI, en préparation)

[9] D’Agnolo A., Schapira P. - The Radon-Penrose Correspondence II  : Line Bundles and Simple $𝔻$-modules, J. Funct. Anal. 153, n${}^o$2, 343-356 (1998). | Zbl

[10] De Wilde M., Lecomte P. - Existence of star-products and of formal deformations of Poisson Lie algebra of arbitrary symplectic manifolds, Lett. Math. Phys. 7 (1983), 487-496 | MR | Zbl

[11] De Wilde M., Lecomte P. - Formal deformations of the Poisson Lie algebra of a symplectic manifold and star-products. Existence, equivalence, derivations, in “Deformation Theory of algèbres and Structures and Applications”, M.Hazewinkel & M. Gerstenhaber eds., Kluwer Acad. Pub., Dordrecht (1988), 897-960. | Zbl

[12] Fedosov B.V. - A simple geometrical construction of deformation quantization, Journal of Differential Geometry 40 (1994), no. 2, 213-238. | MR | Zbl

[13] Gerstenhaber M. - On the deformation of rings and algèbres, Annals of Math. 79 (1964), 59-103 | MR | Zbl

[14] Guillemin V., Sternberg S.- Geometrical asymptotics, Amer. Math. Soc. Surveys 14, Providence RI, 1977. | MR | Zbl

[15] Giraud J. Cohomologie non Abélienne, Grudlehren der Math. Wiss 179, Springer Verlag, 1971. | MR | Zbl

[16] Gutt S. - Equivalence of deformations of twisted products on a symplectic manifold, Lett. Math. Phys. 3 (1979), 495-502. | MR | Zbl

[17] Kashiwara M. - Quantization of Contact Manifolds, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 32 (1996), 1-7. | MR | Zbl

[18] Kawai T., Kashiwara M. - On holonomic systems of microdifferential equations III - systems with regular singularities, publ. RIMS, Kyoto University 17 (1981) 813-979. | MR | Zbl

[19] Kontsevitch M. - Deformation Quantization of Poisson Manifolds, preprint, I.H.E.S.

[20] Meyer D. - D-modules et E-modules associés à un opérateur à caractéristiques simples, (thèse Paris VI, 1998).

[21] Moyal J. - Quantum mechanics as a stastistical theory, Proc. Camb. Phil. Soc. 45 (1965), 99-124. | MR | Zbl

[22] Vey J. - Déformation du crochet de Poisson sur une variété symplectique, Comment. Math. Helvet. 50 (1975), 421-454. | MR | Zbl

[23] Weinstein A. - Deformation quantization, Séminaire Bourbaki n${}^o$789, 1994. | Numdam | MR | Zbl