Dissipation d’énergie pour des solutions faibles des équations d’Euler et Navier-Stokes incompressibles
Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique), (1999-2000), Talk no. 13, 10 p.

On étudie l’équation locale de l’énergie pour des solutions faibles des équations d’Euler et Navier-Stokes incompressibles tridimensionnelles. On explicite un terme de dissipation provenant de l’éventuel défaut de régularité de la solution. On donne au passage une preuve simple de la conjecture d’Onsager, améliorant un peu l’hypothèse de [1]. On propose une notion de solution dissipative pour de telles solutions faibles.

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Duchon, Jean; Robert, Raoul. Dissipation d’énergie pour des solutions faibles des équations d’Euler et Navier-Stokes incompressibles. Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique),  (1999-2000), Talk no. 13, 10 p. http://www.numdam.org/item/SEDP_1999-2000____A13_0/

[1] P. CONSTANTIN, W. E, E.S. TITI . Onsager’s conjecture on the energy conservation for solutions of Euler’s equation. Commun. Math. Phys. 165, 207-209 (1994). | Zbl 0818.35085

[2] G. EYINK. Energy dissipation without viscosity in ideal hydrodynamics I Fourier analysis and local energy transfer. Physica D, V.78 (1994), n 3-4, 222-240. | MR 1302409 | Zbl 0817.76011

[3] U. FRISCH. Turbulence. Cambridge University Press (1995). | MR 1428905 | Zbl 0832.76001

[4] J. LERAY. Etude de diverses équations intégrales nonlinéaires et de quelques problèmes que pose l’hydrodynamique. J.Math.Pures Appl. 12 (1933), 1-82. | Zbl 0006.16702

[5] J. LERAY. Essai sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace. Acta Math. 63 (1934), 193-248.

[6] P.L. LIONS. Mathematical topics in fluid mechanics. Volume 1 incompressible models. Clarendon Press, Oxford 1996. | MR 1422251 | Zbl 0866.76002

[7] L. ONSAGER. Statistical hydrodynamics. Nuovo Cimento (supplemento), 6, 279 (1949). | MR 36116

[8] A.I. SHNIRELMAN. Weak solutions of incompressible Euler equations with decreasing energy. Séminaire EDP,Ecole Polytechnique, exposé n XVI (1996-97). | Numdam | MR 1482822 | Zbl 02124118

[9] V. SCHEFFER. An inviscid flow with compact support in space-time. J. Geom.Anal. V.3 (1993), n 4, 343-401. | MR 1231007 | Zbl 0836.76017

[10] V.I. YOUDOVITCH. Non-stationary flow of an ideal incompressible liquid. Zh. Vych. Mat. 3 (1963) 1032-1066. | Zbl 0147.44303