Théorie de la diffusion pour l’équation de Dirac sans masse dans la métrique de Kerr
Häfner, Dietrich1 ; Nicolas, Jean-Philippe1
1 M.A.B., UMR CNRS 5466, Institut de Mathématiques de Bordeaux, Université Bordeaux 1, 351 cours de la Libération, 33405 Talence cedex, France
Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2002-2003), Exposé no. 23, 15 p.

Pour l’équation de Dirac sans masse à l’extérieur d’un trou noir de Kerr lent nous démontrons la complétude asymptotique. Nous introduisons une nouvelle tétrade de Newman-Penrose pour laquelle l’expression de l’équation ne contient pas de termes à longue portée artificiels. La technique principale utilisée est une estimation de Mourre. La géométrie proche de l’horizon exige d’appliquer une transformation unitaire avant de se retrouver dans une situation dans laquelle le générateur de dilatations est un bon opérateur conjugué. Les résultats sont réinterprétés de façon géométrique comme solution d’un problème de Goursat dans la compactification de Penrose de l’extérieur du trou noir.

Häfner, Dietrich 1 ; Nicolas, Jean-Philippe 1

1 M.A.B., UMR CNRS 5466, Institut de Mathématiques de Bordeaux, Université Bordeaux 1, 351 cours de la Libération, 33405 Talence cedex, France 
@article{SEDP_2002-2003____A23_0,
     author = {H\"afner, Dietrich and Nicolas, Jean-Philippe},
     title = {Th\'eorie de la diffusion pour l{\textquoteright}\'equation de {Dirac} sans masse dans la m\'etrique de {Kerr}},
     journal = {S\'eminaire \'Equations aux d\'eriv\'ees partielles (Polytechnique) dit aussi "S\'eminaire Goulaouic-Schwartz"},
     note = {talk:23},
     pages = {1--15},
     publisher = {Centre de math\'ematiques Laurent Schwartz, \'Ecole polytechnique},
     year = {2002-2003},
     zbl = {1059.83026},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/item/SEDP_2002-2003____A23_0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Häfner, Dietrich
AU  - Nicolas, Jean-Philippe
TI  - Théorie de la diffusion pour l’équation de Dirac sans masse dans la métrique de Kerr
JO  - Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz"
N1  - talk:23
PY  - 2002-2003
SP  - 1
EP  - 15
PB  - Centre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
UR  - http://archive.numdam.org/item/SEDP_2002-2003____A23_0/
LA  - fr
ID  - SEDP_2002-2003____A23_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Häfner, Dietrich
%A Nicolas, Jean-Philippe
%T Théorie de la diffusion pour l’équation de Dirac sans masse dans la métrique de Kerr
%J Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz"
%Z talk:23
%D 2002-2003
%P 1-15
%I Centre de mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique
%U http://archive.numdam.org/item/SEDP_2002-2003____A23_0/
%G fr
%F SEDP_2002-2003____A23_0
Häfner, Dietrich; Nicolas, Jean-Philippe. Théorie de la diffusion pour l’équation de Dirac sans masse dans la métrique de Kerr. Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2002-2003), Exposé no. 23, 15 p. http://archive.numdam.org/item/SEDP_2002-2003____A23_0/

[1] W. Amrein, A. Boutet de Monvel, V. Georgescu, C 0 -groups, commutator methods and spectral theory of N-body Hamiltonians, Birkäuser Verlag, 1996. | MR | Zbl

[2] A. Bachelot, Gravitational scattering of electromagnetic field by a Schwarzschild Black hole, Ann. Inst. Henri Poincaré - Physique Théorique 54 (1991), 261–320. | Numdam | MR | Zbl

[3] A. Bachelot, Asymptotic completeness for the Klein-Gordon equation on the Schwarzschild metric, Ann. Inst. Henri Poincaré, Physique Théorique 61 (1994), no. 4, 411–441. | Numdam | MR | Zbl

[4] A. Bachelot, Quantum vacuum polarization at the black-hole horizon, Ann. Inst. H. Poincaré Phys. Théor. 67 (1997), no. 2, 181–222. | Numdam | MR | Zbl

[5] A. Bachelot, The Hawking effect, Ann. Inst. H. Poincaré Phys. Théor. 70 (1999), no. 1, 41–99. | Numdam | MR | Zbl

[6] A. Bachelot, Creation of fermions at the charged black-hole horizon, Ann. Henri Poincaré 1 (2000), no. 6, 1043–1095. | MR | Zbl

[7] A. Bachelot, A. Motet-Bachelot, Les résonances d’un trou noir de Schwarzschild, Ann. Inst. Henri Poincaré, Physique Théorique 59 (1993), no. 1, 3–68. | Numdam | Zbl

[8] S. Chandrasekhar, The mathematical theory of black holes, Oxford University Press 1983. | MR | Zbl

[9] S. Debièvre, P. Hislop, I.M. Sigal, Scattering theory for the wave equation on non-compact manifolds, Rev. Math. Phys. 4 (1992), 575-618. | MR | Zbl

[10] J. Dimock, Scattering for the wave equation on the Schwarzschild metric, Gen. Relativ. Gravitation 17 (1985), no. 4, 353–369. | MR | Zbl

[11] J. Dimock, B.S. Kay, Scattering for massive scalar fields on Coulomb potentials and Schwarzschild metrics, Classical Quantum Gravity 3 (1986), 71-80. | MR | Zbl

[12] J. Dimock, B.S. Kay, Classical and quantum scattering theory for linear scalar fields on the Schwarzschild metric I, Ann. Phys. 175 (1987), 366–426. | MR | Zbl

[13] J.Dimock, B.S. Kay Classical and quantum scattering theory for linear scalar fields on the Schwarzschild metric II, J. Math. Phys. 27 (1986), 2520-2525. | MR | Zbl

[14] F. Finster, N. Kamran, J. Smoller, S.-T. Yau, Decay Rates and Probability Estimates for Massive Dirac Particles in the Kerr-Newman Black Hole Geometry, gr-qc 0107094. | Zbl

[15] R. Froese, P.Hislop, Spectral analysis of second-order elliptic operators on non-compact manifolds, Duke Math. J. 58, 103-129. | MR | Zbl

[16] V. Georgescu, C. Gérard, On the virial theorem in quantum mecanics, Comm. Math. Phys. 208 (1999), 275-281. | MR | Zbl

[17] R.P. Geroch, Spinor structure of space-times in general relativity I, J. Math. Phys. 9 (1968). | MR | Zbl

[18] R.P. Geroch, Spinor structure of space-times in general relativity II, J. Math. Phys. 11 (1970). | MR | Zbl

[19] R.P. Geroch, The domain of dependence, J. Math. Phys. 11 (1970), 437–449. | MR | Zbl

[20] D. Häfner, Complétude asymptotique pour l’équation des ondes dans une classe d’espaces-temps stationnaires et asymptotiquement plats, Ann. Inst. Fourier 51 (2001), 779-833. | Numdam | Zbl

[21] D. Häfner, Sur la théorie de la diffusion pour l’équation de Klein-Gordon dans la métrique de Kerr, à paraître dans Dissertationes Mathematicae. | Zbl

[22] D. Häfner, J.-P. Nicolas, Scattering of massless Dirac fields by a Kerr black hole, preprint no. 03-06 (2003), UMR CNRS 5466, Université Bordeaux 1. | MR | Zbl

[23] W.M. Jin, Scattering of massive Dirac fields on the Schwarzschild black hole space-time, Classical Quantum Gravity 15 (1998), no. 10, 3163–3175. | MR | Zbl

[24] W. Kinnersley, Type D vacuum metrics, J. Math. Phys. 10 (1969), 1195–1203. | MR | Zbl

[25] F. Melnyk, Scattering on Reissner-Nordstrøm metric for massive charged spin 1/2 fields, à paraître dans Ann. Henri Poincaré. | Zbl

[26] F. Melnyk, The Hawking effect for spin 1/2 fields, M.A.B. preprint no. 03-05 (2003), UMR CNRS 5466, Université Bordeaux 1. | MR | Zbl

[27] E. Mourre, Absence of singular continuous spectrum for certain selfadjoint operators, Comm. Math. Phys. 78 (1981), 391-408. | MR | Zbl

[28] J.-P. Nicolas, Non linear Klein-Gordon equation on Schwarschild like metrics, J. Math. Pures Appl. (9) 74 (1995), 35-58. | MR | Zbl

[29] J.-P. Nicolas, Scattering of linear Dirac fields by a spherically symmetric Black hole, Ann. Inst. Henri Poincaré - Physique Théorique 62 (1995), no. 2, 145–179. | Numdam | MR | Zbl

[30] J.-P. Nicolas, Dirac fields on asymptotically flat space-times, Dissertationes Mathematicae 408, 2002. | MR | Zbl

[31] B. O’Neill, The geometry of Kerr black holes, A.K. Peters, Wellesley, 1995. | Zbl

[32] R. Penrose, W. Rindler, Spinors and space-time, Vol. I & II, Cambridge monographs on mathematical physics, Cambridge University Press 1984 & 1986. | Zbl

[33] A.Z. Petrov, The classification of spaces defining gravitational fields, Scientific Proceedings of Kazan State University (named after V.I. Ulyanov-Lenin), Jubilee (1804-1954) Collection 114 (1954),8 ,55-69, translation by J. Jezierski and M.A.H. MacCallum, with introduction, by M.A.H. MacCallum, Gen. Rel. Grav. 32 (2000), 1661-1685. | MR | Zbl

[34] A. Sá Barreto, M. Zworski, Distribution of resonances for spherical black holes, Math. Res. Lett. 4, 103-121. | MR | Zbl

[35] S.A. Teukolski, Perturbations of a rotating black hole. I. Fundamental equations for gravitational, electromagnetic, and neutrino-field perturbations, Astrophys. J. 185 (1973), 635–647.