Le Laplacien hypoelliptique

Bismut, Jean-Michel

Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2003-2004), Exposé no. 21, 15 p.

On construit une nouvelle théorie de Hodge sur le fibré cotangent d’une variété Riemannienne $X$. Le Laplacien correspondant est un opérateur hypoelliptique d’ordre deux, qui est autoadjoint relativement à une forme Hermitienne de signature $(\infty ,\infty )$. Cette théorie de Hodge interpole entre la théorie de Hodge habituelle sur $X$ et le flot géodésique sur $T*X$.

We construct a new Hodge theory on the cotangent bundle of a Riemannian manifold $X$. The corresponding Laplacian is a second order hypoelliptic operator, which is self-adjoint with respect to a Hermitian form whose signature is $\left(\infty ,\infty \right)$. This Hodge theory interpolates between the classical Hodge theory on $X$ and the geodesic flow on $T*X$.

[A85] M. F. Atiyah. Circular symmetry and stationary-phase approximation. Astérisque, (131) :43–59, 1985. Colloquium in honor of Laurent Schwartz, Vol. 1 (Palaiseau, 1983). | Numdam | MR | Zbl

[BeGV92] N. Berline, E. Getzler, M. Vergne. Heat kernels and Dirac operators. Grundl. Math. Wiss. Band 298. Springer-Verlag, Berlin, 1992. | MR | Zbl

[B04a] J.-M. Bismut. The hypoelliptic Laplacian on the cotangent bundle. À paraître, 2004. | MR

[B04b] J.-M. Bismut. Une déformation de la théorie de Hodge sur le fibré cotangent. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I, 338 :471–476, 2004. | MR | Zbl

[B04c] J.-M. Bismut. Le Laplacien hypoelliptique sur le fibré cotangent. C. R. Math. Acad. Sci. Paris Sér. I, 338 :555–559, 2004. | MR | Zbl

[B04d] J.-M. Bismut. Une déformation en famille du complexe de de Rham-Hodge. C. R. Math. Acad. Sci. Paris Sér. I, 338 :623–627, 2004. | MR | Zbl

[BL91] J.-M. Bismut, G. Lebeau. Complex immersions and Quillen metrics. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., (74) :ii+298 pp. (1992), 1991. | Numdam | MR | Zbl

[BL04] J.-M. Bismut, G. Lebeau. The hypoelliptic Laplacian and Ray-Singer metrics. À paraître, 2004.

[BZ92] J.-M. Bismut, W. Zhang. An extension of a theorem by Cheeger and Müller. Astérisque, (205) :235, 1992. With an appendix by François Laudenbach. | Numdam | MR | Zbl

[BZ94] J.-M. Bismut, W. Zhang. Milnor and Ray-Singer metrics on the equivariant determinant of a flat vector bundle. Geom. Funct. Anal., 4(2) :136–212, 1994. | MR | Zbl

[Bo59] R. Bott. The stable homotopy of the classical groups. Ann. of Math. (2), 70 :313–337, 1959. | MR | Zbl

[C79] J. Cheeger. Analytic torsion and the heat equation. Ann. of Math. (2), 109(2) :259–322, 1979. | MR | Zbl

[Ch44] S.S. Chern. A simple intrinsic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifolds. Ann. of Math. (2), 45 :747–752, 1944. | MR | Zbl

[HS85] B. Helffer, J. Sjöstrand. Puits multiples en mécanique semi-classique. IV. Étude du complexe de Witten. Comm. Partial Differential Equations, 10(3) :245–340, 1985. | MR | Zbl

[Hö67] L. Hörmander. Hypoelliptic second order differential equations. Acta Math., 119 :147–171, 1967. | MR | Zbl

[MQ86] V. Mathai, D. Quillen. Superconnections, Thom classes, and equivariant differential forms. Topology, 25(1) :85–110, 1986. | MR | Zbl

[McS67] H. P. McKean, Jr., I. M. Singer. Curvature and the eigenvalues of the Laplacian. J. Differential Geometry, 1(1) :43–69, 1967. | MR | Zbl

[Mi65] J. Milnor. Lectures on the $h$-cobordism theorem. Notes by L. Siebenmann and J. Sondow. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1965. | MR | Zbl

[Mü78] W. Müller. Analytic torsion and $R$-torsion of Riemannian manifolds. Adv. in Math., 28(3) :233–305, 1978. | MR | Zbl

[RS71] D. B. Ray, I. M. Singer. $R$-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds. Advances in Math., 7 :145–210, 1971. | MR | Zbl

[Rei35] K. Reidemeister. Homotopieringe und Linsenraüm. Hamburger Abhandl., pages 102–109, 1935. | Zbl

[Sm61] S. Smale. On gradient dynamical systems. Ann. of Math. (2), 74 :199–206, 1961. | MR | Zbl

[Sm67] S. Smale. Differentiable dynamical systems. Bull. Amer. Math. Soc., 73 :747–817, 1967. | MR | Zbl

[T49] R. Thom. Sur une partition en cellules associée à une fonction sur une variété. C. R. Acad. Sci. Paris, 228 :973–975, 1949. | MR | Zbl

[W82] E. Witten. Supersymmetry and Morse theory. J. Differential Geom., 17(4) :661–692 (1983), 1982. | MR | Zbl