Domaines nodaux et partitions spectrales minimales

Helffer, Bernard

Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2006-2007), Exposé no. 8, 21 p.

Nous considèrerons principalement le problème de Dirichlet pour le Laplacien dans un domaine borné $\Omega$. Nous nous proposons d’analyser les liens entre les partitions de $\Omega$ constituées des domaines nodaux d’une fonction propre de ce laplacien et celles constituées de $k$ ouverts $D_i$ qui sont minimales en ce sens qu’elles minimisent (pour $k$ fixé) le maximum sur les $D_i$ de la plus petite valeur propre $\lambda \left(D_i\right)$ de la réalisation de Dirichlet du laplacien dans $D_i$.

La plupart des résultats s’étendent au cas où le laplacien est remplacé par l’opérateur de Schrödinger $-\Delta +V$ avec $V\in L^{\infty }$ mais ceci ne sera pas détaillé ici.

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