@article{SE_1964__6__A3_0,
author = {Lehmann, Daniel},
title = {Th\'eorie de {Morse} en g\'eom\'etrie finsl\'erienne},
journal = {S\'eminaire Ehresmann. Topologie et g\'eom\'etrie diff\'erentielle},
note = {talk:3},
pages = {1--9},
publisher = {Secr\'etariat math\'ematique},
volume = {6},
year = {1964},
mrnumber = {193604},
zbl = {0171.42604},
language = {fr},
url = {http://archive.numdam.org/item/SE_1964__6__A3_0/}
}
TY - JOUR AU - Lehmann, Daniel TI - Théorie de Morse en géométrie finslérienne JO - Séminaire Ehresmann. Topologie et géométrie différentielle N1 - talk:3 PY - 1964 SP - 1 EP - 9 VL - 6 PB - Secrétariat mathématique UR - http://archive.numdam.org/item/SE_1964__6__A3_0/ LA - fr ID - SE_1964__6__A3_0 ER -
Lehmann, Daniel. Théorie de Morse en géométrie finslérienne. Séminaire Ehresmann. Topologie et géométrie différentielle, Tome 6 (1964), Exposé no. 3, 9 p. http://archive.numdam.org/item/SE_1964__6__A3_0/
[1] . Morse Theory (Annals of Mathematics Studies n° 51, Princeton 1963). | MR | Zbl
[2] et . A generalized Morse theory (Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 70, n°1, 1964, p. 165). | MR | Zbl
[3] « différentiable » signifiera toujours : de classe C∞ .
[4] Le cas où J n'est pas toute la variété des vecteurs tangents à U non nuls, peut effectivement se présenter. Par exemple, si Lo est une fonction non homogène à valeurs positives définie sur la variété des vecteurs tangents à une variété U' de dimension n-1, A. LICHNEROWICZ lui associe canoniquement une fonction L définie sur la variété J des vecteurs (du' , dt ) tangents à U = U' x R vérifiant dt > 0 , en posant : L(du',dt)=Lo(1/dt du')dt (dt ∈ Tt( R )= R ). Il est clair que L est positivement homogène de degré 1. A toute courbe c':t→c'(t) dans U' , on associe canoniquement la courbe c : t→(c'(t),t) dans U , et t1tLo(dc' dt)dt=f1roLdc dt)dt.
[5] . Espaces de Finsler (cours du Collège de France, 1959-60). . Thèse (Annales scientifiques de l'ENS, 1963).
[6] La fonction L étant positivement homogène de degré 1, l'intégrale t1toL (dc/dt)dt prend la même valeur pour deux paramétrages t et t' d'une même courbe, pourvu que t' soit une fonction différentiable de t à dérivée première partout positive. On peut donc choisir le paramètre de façon aussi commode que possible, d'où la condition (iv).
[7] Si φ : C[0,1]{to ,..., tk } → E est une fonction bornée à valeurs dans un espace normé E, on note Δti φ sa discontinuité φ(t+i) - φ(t-i) en ti.
[8] Au lieu de considérer la fonction L, on aurait pu utiliser la fonction énergie c → E(c) = ∫1o L2(dc/dt)dt. Mais L2 n'étant plus homogène de degré 1, il aurait fallu varier E dans l'espace Ω' de toutes les courbes paramétrées [0,1]→ U joignant a et b , et non plus seulement dans l'espace Ω des courbes paramétrées proportionnellement à l'arc. On aurait alors obtenu une différentielle Ec* définie sur TcΩ', nulle si et seulement si c est une géodésique. Les résultats ultérieurs de la théorie auraient été inchangés car : - d'une part, le hessien Ec** d'une géodésique c a une restriction à ( T Ω)2 de la forme k. Lc** (où k est un nombre > 0), - d'autre part, Ω est un rétracte par déformations de Ω' muni de la Co ou de la C1. topologie.
[9] . Espaces de Finsler complets (Comptes rendus Ac. Sc. Paris, 1964 t. 258, n° 8, p. 2251 et n° 10 p. 2734). | MR | Zbl
[10] . On curvature in Finsler Geometry (Transactions of the American Mathematical Society, vol. 79, 1955, p. 378). | MR | Zbl
