Le lemme d’Abhyankar perfectoide
Publications Mathématiques de l'IHÉS, Tome 127 (2018), pp. 1-70.

Nous étendons le théorème de presque-pureté de Faltings-Scholze-Kedlaya-Liu sur les extensions étales finies d’algèbres perfectoïdes au cas des extensions ramifiées, sans restriction sur le lieu de ramification. Nous déduisons cette version perfectoïde du lemme d’Abhyankar du théorème de presque-pureté, par un passage à la limite mettant en jeu des versions perfectoïdes du théorème d’extension de Riemann. Au préalable, nous développons les aspects catégoriques des algèbres de Banach uniformes et des algèbres perfectoïdes, tout en semant de nouvelles notions (algèbres presque perfectoïdes) et techniques galoisiennes.

Reçu le :
Accepté le :
Première publication :
Publié le :
DOI : 10.1007/s10240-017-0096-x
@article{PMIHES_2018__127__1_0,
     author = {Andr\'e, Yves},
     title = {Le lemme {d{\textquoteright}Abhyankar} perfectoide},
     journal = {Publications Math\'ematiques de l'IH\'ES},
     pages = {1--70},
     publisher = {Springer Berlin Heidelberg},
     address = {Berlin/Heidelberg},
     volume = {127},
     year = {2018},
     doi = {10.1007/s10240-017-0096-x},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.1007/s10240-017-0096-x/}
}
TY  - JOUR
AU  - André, Yves
TI  - Le lemme d’Abhyankar perfectoide
JO  - Publications Mathématiques de l'IHÉS
PY  - 2018
SP  - 1
EP  - 70
VL  - 127
PB  - Springer Berlin Heidelberg
PP  - Berlin/Heidelberg
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.1007/s10240-017-0096-x/
DO  - 10.1007/s10240-017-0096-x
LA  - fr
ID  - PMIHES_2018__127__1_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A André, Yves
%T Le lemme d’Abhyankar perfectoide
%J Publications Mathématiques de l'IHÉS
%D 2018
%P 1-70
%V 127
%I Springer Berlin Heidelberg
%C Berlin/Heidelberg
%U http://archive.numdam.org/articles/10.1007/s10240-017-0096-x/
%R 10.1007/s10240-017-0096-x
%G fr
%F PMIHES_2018__127__1_0
André, Yves. Le lemme d’Abhyankar perfectoide. Publications Mathématiques de l'IHÉS, Tome 127 (2018), pp. 1-70. doi : 10.1007/s10240-017-0096-x. http://archive.numdam.org/articles/10.1007/s10240-017-0096-x/

[1.] Anderson, D.; Dobbs, D.; Roitman, M. Root closure in commutative rings, Ann. Sci. Univ. Blaise Pascal, Volume 95 (1990), pp. 1-11 | MR | Zbl

[2.] Andreatta, F. Generalized ring of norms and generalized (Φ,Γ)-modules, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), Volume 39 (2006), pp. 599-647 | DOI | MR | Zbl

[3.] Artin, M.; Grothendieck, A.; Verdier, J.-L. Théorie des topos et cohomologie étale des schémas, vol. 2, Springer, New York, 1972 (270) | Zbl

[4.] Bartenwerfer, W. Der erste Riemannsche Hebbarkeitssatz im nichtarchimedischen Fall, J. Reine Angew. Math., Volume 286–287 (1976), pp. 144-163 | MR | Zbl

[5.] Berkovich, V. Spectral Theory and Analytic Geometry over Non-Archimedean Fields, AMS, Providence, 1990 | Zbl

[6.] Bosch, S.; Güntzer, U.; Remmert, R. Non-Archimedean Analysis. A Systematic Approach to Rigid Analytic Geometry, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer, Berlin, 1984

[7.] Bourbaki, N. Espaces vectoriels topologiques, Hermann, Paris, 1953 | Zbl

[8.] Bourbaki, N. Algèbre commutative, Masson, Paris, 1985 (chapitres 1 à 7) | Zbl

[9.] Colmez, P. Espaces de Banach de dimension finie, J. Inst. Math. Jussieu, Volume 1 (2002), pp. 331-439 | DOI | MR | Zbl

[10.] Faltings, G. Almost étale extensions, Astérisque, Volume 279 (2002), pp. 185-270 | Zbl

[11.] Fesenko, I. On deeply ramified extensions, J. Lond. Math. Soc., Volume 57 (1998), pp. 325-335 | DOI | MR | Zbl

[12.] Fontaine, J.-M. Perfectoïdes, presque pureté et monodromie-poids (Scholze, P., ed.), Séminaire Bourbaki, 64-ième année, 2013, pp. 509-534

[13.] Fresnel, J.; Matignon, M. Produit tensoriel topologique de corps valués, Can. J. Math., Volume 35 (1983), pp. 218-273 | DOI | Zbl

[14.] Gabriel, P. Des catégories abéliennes, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 90 (1962), pp. 323-448 | DOI | Zbl

[15.] Gabber, O.; Ramero, L. Almost Ring Theory, Springer, New York, 2003 | Zbl

[16.] O. Gabber and L. Ramero, Foundations for almost ring theory, | arXiv

[17.] Gilmer, R.; Heinzer, W. On the complete integral closure of an integral domain, J. Aust. Math. Soc., Volume 6 (1966), pp. 351-361 | DOI | MR | Zbl

[18.] Güntzer, U. The norm of uniform convergence on the k-algebraic maximal spectrum of an algebra over a non-Archimedean valuation field k, Mém. Soc. Math. Fr., Volume 39–40 (1974), pp. 101-121 | MR | Zbl

[19.] Herrlich, H.; Strecker, G. Coreflective subcategories, Trans. Am. Math. Soc., Volume 157 (1971), pp. 205-226 | DOI | MR | Zbl

[20.] K. Kedlaya, On commutative non-archimedean Banach fields, | arXiv

[21.] Kedlaya, K.; Liu, R. Relative p -adic Hodge Theory, I. Foundations, 2015 | Zbl

[22.] S. Mac Lane, Categories for the working mathematician, 2ème éd, Springer GTM, 5 (1998).

[23.] Mihara, T. Characterization of the Berkovich spectrum of the Banach algebra of bounded continuous functions, Doc. Math., Volume 19 (2014), pp. 769-799 | MR | Zbl

[24.] Mihara, T. On Tate acyclicity and uniformity of Berkovich spectra and adic spectra, Isr. J. Math., Volume 216 (2016), pp. 61-105 | DOI | MR | Zbl

[25.] Mumford, D. Abelian Varieties, Oxford Univ. Press, Tata, 1970 (3rd edn., 2010) | Zbl

[26.] Olsson, M. On Faltings’method of almost etale extensions, Algebraic Geometry, Part 2 (2009), pp. 811-936 | DOI

[27.] Poineau, J. Les espaces de Berkovich sont angéliques, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 141 (2013), pp. 267-297 | DOI | MR | Zbl

[28.] P. Roberts, The root closure of a ring of mixed characteristic, | arXiv

[29.] Roos, J.-E. Derived functors of inverse limits revisited, J. Lond. Math. Soc. (2), Volume 73 (2006), pp. 65-83 | DOI | MR | Zbl

[30.] Scholze, P. Perfectoid spaces, Publ. Math. IHÉS, Volume 116 (2012), pp. 245-313 | DOI | MR | Zbl

[31.] Scholze, P. On torsion in the cohomology of locally symmetric varieties, Ann. Math., Volume 182 (2015), pp. 945-1066 | DOI | MR | Zbl

[32.] K. Shimomoto, An application of the almost purity theorem to the homological conjectures, J. Pure Appl. Algebra, 220 (2014).

[33.] Szamuely, T. Galois Groups and Fundamental Groups, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2009 | DOI | Zbl

[34.] Waschkies, I. The stack of microlocal perverse sheaves, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 132 (2004), pp. 397-462 | DOI | MR | Zbl

[35.] Wintenberger, J.-P. Une généralisation du théorème de Tate-Sen-Ax, Groupe étude Anal. Ultramétr., Volume 15 (1987), pp. 1-5

Cité par Sources :