Le théorème ergodique pour les opérateurs positifs sur les espaces L_p (1<p<∞) revisité

Brunel, Antoine

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 3, pp. 205-207.

On étudie les opérateurs linéaires positifs A sur un espace ${\mathrm{L}}_p(1<\mathrm{p}<\infty ),(\mathrm{A}\left({\mathrm{L}}_p^{+}\right)\subset {\mathrm{L}}_p^{+})$, vérifiant l'inégalité A^m+n<A^m+Aⁿ pour $\mathrm{m},\mathrm{n}\in \mathrm{N},{\mathrm{A}}^0=$ identité. On décrit la structure de ces opérateurs (théorème 1) et l'on en déduit que si f∈L_p,Aⁿf converge p.p. (théorème 2). Ce dernier énoncé contient le théorème de convergence p.p. pour les moyennes de Césaro d'opérateurs positifs à moyennes bornées démontré dans [1] (théorème 1).

We consider positive linear operators on L_p-spaces (1<p<∞), (A(L_p⁺)⊂L_p⁺), satisfying the inequality A^m+n<A^m+Aⁿ for all $\mathrm{m},\mathrm{n}\in \mathrm{N}.$ We describe the structure of these operators (Theorem 1). As a consequence we obtain for all f∈L^p,Aⁿf converges a.e. The last statement contains the theorem of a.e. convergence of Cesaro averages for positive mean bounded operators.

[1] Brunel, A. Théorème ergodique pour les opérateurs positifs à moyennes bornées sur les espaces ${\mathrm{L}}_p(1<\mathrm{p}<\infty )$, Ergodic Theory Dynamical Systems, Volume 12 (1992)

[2] Brunel, A.; Emilion, R. Sur les opérateurs positifs à moyennes bornées, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 298 (1984) no. 6, pp. 103-106

[3] Emilion, R. Mean bounded operators and mean ergodic theorems, J. Funct. Anal., Volume 61 (1985), pp. 1-14

[4] Krengel, U. Ergodic Theorems, De Gruyter Stud. Math., 6, 1985

[5] R. Sato, On Brunel's proof of a dominated ergodic theorem for positive linear operator on ${\mathrm{L}}_p(1<\mathrm{p}<\infty )$