Sur l'équation divu=f

Bourgain, Jean; Brezis, Haı̈m

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 11, pp. 973-976.

Le résultat principal est le suivant. Soit $\Omega$ un domaine borné, à frontière Lipschitzienne dans ${ℝ}^d$, d⩾2. Alors pour tout $\mathrm{f}\in {\mathrm{L}}^d\left(\Omega \right)$ avec ∫f=0 il existe une solution $\mathrm{u}\in {\mathrm{C}}^0\left(\overline{\Omega }\right)\cap {\mathrm{W}}^{1,\mathrm{d}}\left(\Omega \right)$ de l'équation divu=f dans $\Omega$ vérifiant de plus u=0 sur $\partial \Omega$ et l'estimée

$${\parallel \mathrm{u}\parallel }_{{\mathrm{L}}^{\infty }}+{\parallel \mathrm{u}\parallel }_{{\mathrm{W}}^{1,\mathrm{d}}}⩽\mathrm{C}{\parallel \mathrm{f}\parallel }_{{\mathrm{L}}^d},$$

où C dépend seulement de $\Omega$. Toutefois, on ne peut pas choisir u dépendant linéairement de f.

The main result is the following. Let $\Omega$ be a bounded Lipschitz domain in ${ℝ}^d$, d⩾2. Then for every $\mathrm{f}\in {\mathrm{L}}^d\left(\Omega \right)$ with ∫f=0, there exists a solution $\mathrm{u}\in {\mathrm{C}}^0\left(\overline{\Omega }\right)\cap {\mathrm{W}}^{1,\mathrm{d}}\left(\Omega \right)$ of the equation divu=f in $\Omega$, satisfying in addition u=0 on $\partial \Omega$ and the estimate

$${\parallel \mathrm{u}\parallel }_{{\mathrm{L}}^{\infty }}+{\parallel \mathrm{u}\parallel }_{{\mathrm{W}}^{1,\mathrm{d}}}⩽\mathrm{C}{\parallel \mathrm{f}\parallel }_{{\mathrm{L}}^d},$$

where C depends only on $\Omega$. However one cannot choose u depending linearly on f.

[1] J. Bourgain, H. Brezis, On the equation divY=f and application to control of phases (à paraître)

[2] Mc Mullen, C.T. Lipschitz maps and nets in Euclidean space, Geom. Funct. Anal., Volume 8 (1998), pp. 304-314