Sur l'équation divu=f
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 11, pp. 973-976.

Le résultat principal est le suivant. Soit Ω un domaine borné, à frontière Lipschitzienne dans d , d⩾2. Alors pour tout fL d (Ω) avec ∫f=0 il existe une solution uC 0 (Ω ¯)W 1,d (Ω) de l'équation divu=f dans Ω vérifiant de plus u=0 sur Ω et l'estimée

u L +u W 1,d Cf L d ,
C dépend seulement de Ω. Toutefois, on ne peut pas choisir u dépendant linéairement de f.

The main result is the following. Let Ω be a bounded Lipschitz domain in d , d⩾2. Then for every fL d (Ω) with ∫f=0, there exists a solution uC 0 (Ω ¯)W 1,d (Ω) of the equation divu=f in Ω, satisfying in addition u=0 on Ω and the estimate

u L +u W 1,d Cf L d ,
where C depends only on Ω. However one cannot choose u depending linearly on f.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02344-0
Bourgain, Jean 1 ; Brezis, Haı̈m 2

1 Institute for Advanced Study, Princeton, NJ 08540, USA
2 Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, BC 187, 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 5, France
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Bourgain, Jean; Brezis, Haı̈m. Sur l'équation divu=f. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 11, pp. 973-976. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02344-0. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02344-0/

[1] J. Bourgain, H. Brezis, On the equation divY=f and application to control of phases (à paraître)

[2] Mc Mullen, C.T. Lipschitz maps and nets in Euclidean space, Geom. Funct. Anal., Volume 8 (1998), pp. 304-314

Cité par Sources :