Viscoélastodynamique monodimensionnelle avec conditions de Signorini

Petrov, Adrien; Schatzman, Michelle

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 11, pp. 983-988.

Soit α un nombre strictement positif. Le problème viscoélastique monodimensionnel

$$u_{\mathrm{tt}}-{\mathrm{u}}_{\mathrm{xx}}-\alpha {\mathrm{u}}_{\mathrm{xxt}}=\mathrm{f},\mathrm{x}\in (-\infty ,0],\mathrm{t}\in [0,+\infty ),$$

avec les conditions au bord unilatérales

$$\mathrm{u}(0,·)⩾0,({\mathrm{u}}_x+\alpha {\mathrm{u}}_{\mathrm{xt}})(0,·)⩾0,\left(\mathrm{u}({\mathrm{u}}_x+\alpha {\mathrm{u}}_{\mathrm{xt}})\right)(0,·)=0,$$

peut être réduit à l'inéquation variationnelle suivante :

$${\lambda }_1*\mathrm{w}=\mathrm{g}+\mathrm{b},\mathrm{w}⩾0,\mathrm{b}⩾0,\langle \mathrm{w},\mathrm{b}\rangle =0.$$

Ici ${\widehat{\lambda }}_1\left(\omega \right)$ est la détermination causale de $\mathrm{i}\omega \sqrt{1+\mathrm{i}\alpha \omega }$. On démontre que ce problème possède une solution et que les pertes d'énergie sont purement visqueuses ; ce résultat provient de la relation $\langle \dot{w},\mathrm{b}\rangle =0$, qui n'est pas triviale puisque, a priori, b est une mesure et $\dot{w}$ n'est définie que presque partout.

Let α be a positive number. The one-dimensional viscoelastic problem

$$u_{\mathrm{tt}}-{\mathrm{u}}_{\mathrm{xx}}-\alpha {\mathrm{u}}_{\mathrm{xxt}}=\mathrm{f},\mathrm{x}\in (-\infty ,0],\mathrm{t}\in [0,+\infty ),$$

with unilateral boundary conditions

$$\mathrm{u}(0,·)⩾0,({\mathrm{u}}_x+\alpha {\mathrm{u}}_{\mathrm{xt}})(0,·)⩾0,\left(\mathrm{u}({\mathrm{u}}_x+\alpha {\mathrm{u}}_{\mathrm{xt}})\right)(0,·)=0,$$

can be reduced to the following variational inequality:

$${\lambda }_1*\mathrm{w}=\mathrm{g}+\mathrm{b},\mathrm{w}⩾0,\mathrm{b}⩾0,\langle \mathrm{w},\mathrm{b}\rangle =0.$$

Here ${\widehat{\lambda }}_1\left(\omega \right)$ is the causal determination of $\mathrm{i}\omega \sqrt{1+\mathrm{i}\alpha \omega }$. We show that the energy losses are purely viscous; this result is a consequence of the relation $\langle \dot{w},\mathrm{b}\rangle =0$; since a priori, b is a measure and $\dot{w}$ is defined only almost everywhere, this relation is not trivial.

[1] Amerio, L. Su un problem di vincoli unilaterali per l'equazione non omogenea delle corda vibrante, Publ. I. A. C. Serie III, Volume 109 (1976)

[2] Amerio, L. On the motion of a string vibrating through a moving ring with a continuously variable diameter, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8), Volume 62 (1977) no. 2, pp. 134-142

[3] Crandall, M.G.; Pazy, A. Semi-groups of nonlinear contractions and dissipative sets, J. Funct. Anal., Volume 3 (1969), pp. 376-418

[4] Jarušek, J. Remark to dynamic contact problems for bodies with a singular memory, Comment. Math. Univ. Carolin., Volume 39 (1998) no. 3, pp. 545-550

[5] Kim, J.U. A boundary thin obstacle problem for a wave equation, Comm. Partial Differential Equations, Volume 14 (1989) no. 8–9, pp. 1011-1026

[6] Lebeau, G.; Schatzman, M. A wave problem in a half-space with a unilateral constraint at the boundary, J. Differential Equations, Volume 53 (1984) no. 3, pp. 309-361

[7] Schatzman, M. Le système différentiel (d²u/dt²)+∂ϕ(u)∋f avec conditions initiales, C. R. Acad. Sci. Paris, Série A–B, Volume 284 (1977) no. 11, p. A603-A606