Estimées ${𝐂}^{𝐤}$ pour les domaines convexes de type fini de ${ℂ}^{𝐧}$

Alexandre, William

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 1, pp. 23-26.

Pour tout domaine convexe D, relativement compact de ${ℂ}^n,$ de type fini m et pour tout q entier naturel non nul, nous montrons l'existence d'un opérateur $T_q^{*}$ de $C_{0,\mathrm{q}}\left(\overline{D}\right)$ vers $C_{0,\mathrm{q}-1}\left(\overline{D}\right)$ tel que pour tout $\mathrm{k}\in \mathbb{N}$ et pour toute (0,q)-forme f, de régularité C^k jusqu'au bord, $\overline{\partial }$-fermée, $T_q^{*}f$ est de régularité C^k+1/m jusqu'au bord et $\overline{\partial }{T}_q^{*}\mathrm{f}=\mathrm{f}.$ Diederich, Fischer et Fornaess ont montré l'existence d'un opérateur de résolution du problème du $\overline{\partial }$ qui satisfait ces conditions pour k=0. Suivant une méthode initiée par Lieb et Range, nous allons modifier cet opérateur et montrer la régularité C^k+1/m. Pour cela, nous utiliserons les outils et résultats spécifiques des convexes de type fini obtenus par McNeal, Diederich, Fischer et Fornaess, mais nous aurons besoin de nouvelles estimées dans la direction normale au bord de D.

For all convex domains D of finite type m, relatively compact of ${ℂ}^n$ and for all $\mathrm{q}\in {\mathbb{N}}^{*}$, we show that there exists a linear operator $T_q^{*}$ from $C_{0,\mathrm{q}}\left(\overline{D}\right)$ to $C_{0,\mathrm{q}-1}\left(\overline{D}\right)$, such that for all $\mathrm{k}\in \mathbb{N}$ and all (0,q)-form f, $\overline{\partial }$-closed of regularity C^k up to the boundary, $T_q^{*}f$ is of regularity C^k+1/m up to the boundary and $\overline{\partial }{T}_q^{*}\mathrm{f}=\mathrm{f}$. Diederich, Fischer and Fornaess have shown that there exists for k=0 such an operator. We modify this operator, analogously to the method of Lieb and Range, and show the regularity C^k+1/m for all k. To do this, we use the specific tools and results of convex domains of finite type shown and used by Diederich, Fischer, Fornaess and McNeal but need to show new estimates for the normal derivative of the defining function of D.

[1] Alexandre, W. Construction d'une fonction de support à la Diederich–Fornaess, Publ. IRMA, Lille, Volume 54 (2001) no. III

[2] Diederich, K.; Fischer, B.; Fornaess, J.E. Hölder estimates on convex domains of finite type, Math. Z., Volume 232 (1999), pp. 43-61

[3] Diederich, K.; Fornaess, J.E. Support functions for convex domains of finite type, Math. Z. (1999), pp. 145-164

[4] Lieb, I.; Range, R.M. Lösungsoperatoren für den Cauchy–Riemann-Komplex mit C^k-Abschätzungen, Math. Ann., Volume 253 (1980), pp. 145-164

[5] McNeal, J.D. Convex domains of finite type, J. Funct. Anal., Volume 108 (1992), pp. 361-373

[6] Michel, J. $\overline{\partial }$-Problem für stückweise streng pseudokonvexe Gebiete in ${ℂ}^n$, Math. Ann., Volume 280 (1988), pp. 46-68