Log-Lipschitz regularity and uniqueness of the flow for a field in (W loc 𝐧/𝐩+1,𝐩 ( 𝐧 )) 𝐧
[Régularité Log-Lipschitz et unicité du flot pour les champs de vecteurs (W loc 𝐧/𝐩+1,𝐩 ( 𝐧 )) 𝐧 ]
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 1, pp. 17-22.

On considère le problème de Cauchy pour un système d'équations différentielles ordinaires x ˙=b(x),t>0;x(0)=x 0 où l'état x=x(t) n et où b est un champ de vecteurs dans (W loc n/p+1,p ( n )) n . On démontre que, pour tout x 0 n , il existe une unique solution locale (en temps). Ceci correspond à un cas limite du point de vue de l'appartenance à des espaces de Sobolev. En effet, si s<n/p+1 il existe des champs de vecteurs b(W loc s,p ( n )) n pour lesquels l'unicité n'est pas satisfaite. Par contre, lorsque s>n/p+1 l'unicité est trivialement vraie car b est localement Lipschitz grâce aux inclusions de Sobolev. La preuve consiste à démontrer que le champ de vitesses vérifie une condition de continuité de type Log-Lipschitz permettant de vérifier que la condition classique d'unicité d'Osgood est satisfaite. Lorsque p=2 la preuve se fait à l'aide des séries de Fourier. Lorsque p≠2 on utilise l'inégalité de Trudinger et la stratégie de la preuve du théorème de Morrey.

We consider the initial value problem x ˙=b(x),t>0;x(0)=x 0 , with x=x(t) n . We prove that local existence and uniqueness of solutions holds when the field b belongs to (W loc n/p+1,p ( n )) n . This case corresponds to the limit regularity one in Sobolev terms since uniqueness may fail when b(W loc s,p ( n )) with s<n/p+1 but holds immediately when s>n/p+1 because of the Sobolev imbedding from (W loc s,p ( n )) n into the space of locally Lipschitz fields. The proof of uniqueness relies on a Log-Lipschitz continuity property we prove for vector fields in this Sobolev class. When p=2 the proof is carried out by means of Fourier series, decomposing the field into the low and high frequencies. When p≠2 the proof uses Trudinger's inequality and the strategy of proof of Morrey's theorem.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02426-3
Zuazua, Enrique 1

1 Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma, 28049 Madrid, Spain
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