Exposants de Lyapounov pour opérateurs de Schrödinger discrètes quasi-périodiques
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 6, pp. 529-531.

On considère des operateurs de Schrödinger H sur de la forme H=Hλ,x,ω=λv(x+)δn,n+Δv est une fonction réelle analytique non-constante sur le tore d-dimensionnel 𝕋 d (d1) et Δ le Laplacien discret sur . Denotons Lω(E) l'exposant de Lyapounov, consideré comme fonction de l'énergie E et du vecteur de rotation ω𝕋 d . Pour |λ|>λ0(v), on a la minoration L ω (E)>1 2 log |λ| uniforme pour toute E et ω. Pour tout λ et ω, Lω(E) est une fonction continu de E. En plus, Lω(E) est continu comme fonction de (ω,E) en tout point (ω 0 ,E 0 )𝕋 d × tel que k·ω0≠0 pour tout k d {0}.

We consider quasi-periodic Schrödinger operators H on of the form H=Hλ,x,ω=λv(x+)δn,n+Δ where v is a non-constant real analytic function on the d-torus 𝕋 d (d1) and Δ denotes the discrete lattice Laplacian on . Denote by Lω(E) the Lyapounov exponent, considered as function of the energy E and the rotation vector ω𝕋 d . It is shown that for |λ|>λ0(v), there is the uniform minoration L ω (E)>1 2 log |λ| for all E and ω. For all λ and ω, Lω(E) is a continuous function of E. Moreover, Lω(E) is jointly continuous in (ω,E), at any point (ω 0 ,E 0 )𝕋 d × such that k·ω0≠0 for all k d {0}.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02525-6
Bourgain, Jean 1

1 School of Mathematics, Institute for Advanced Study, Einstein Drive, Princeton, NJ 08540, USA
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Bourgain, Jean. Exposants de Lyapounov pour opérateurs de Schrödinger discrètes quasi-périodiques. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 6, pp. 529-531. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02525-6. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02525-6/

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Cité par Sources :