[Inverses exacts et asymptotiques des matrices de Toeplitz à symbole singulier polynomial]
À partir de travaux antérieurs et d'une application des polynômes prédicteurs nous obtenons deux types de résultats. Dans une première partie nous proposons une méthode pour obtenir un développement exact des coefficients de matrices de Toeplitz ayant un symbole du type |P|2f où f est une fonction régulière positive et P un polynôme ayant ses zéros sur le tore. Dans une deuxième partie nous obtenons des formules asymptotiques pour les coefficients de l'inverse des matrices de Toeplitz dont le symbole est le produit de (1−cosθ)p par une fonction strictement positive. Ces développements utilisent des noyaux de Green associés à des opérateurs différentiels d'ordre 2p. Enfin nous proposons quelques applications aux calculs des traces et des déterminants.
From a previous work and an application of predictive polynomials we obtain two types of results. In a first part exact entries of the Toeplitz matrix are computed in the case where the symbol is |P|2f and where f is a non negative regular function and P a polynomial with all its zeros on . In a second part we give an asymptotic expansion for symbols (1−cosθ)pf when f is always a nonnegative regular function. These formulas use Green kernels associated to differential operators of order 2p. Finally, we propose some applications to the computation of traces and determinants.
Révisé le :
Publié le :
@article{CRMATH_2002__335_8_705_0,
author = {Rambour, Philippe and Seghier, Abdellatif},
title = {Exact and asymptotic inverse of the {Toeplitz} matrix with polynomial singular symbol},
journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
pages = {705--710},
publisher = {Elsevier},
volume = {335},
number = {8},
year = {2002},
doi = {10.1016/S1631-073X(02)02549-9},
language = {en},
url = {http://archive.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02549-9/}
}
TY - JOUR AU - Rambour, Philippe AU - Seghier, Abdellatif TI - Exact and asymptotic inverse of the Toeplitz matrix with polynomial singular symbol JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2002 SP - 705 EP - 710 VL - 335 IS - 8 PB - Elsevier UR - http://archive.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02549-9/ DO - 10.1016/S1631-073X(02)02549-9 LA - en ID - CRMATH_2002__335_8_705_0 ER -
%0 Journal Article %A Rambour, Philippe %A Seghier, Abdellatif %T Exact and asymptotic inverse of the Toeplitz matrix with polynomial singular symbol %J Comptes Rendus. Mathématique %D 2002 %P 705-710 %V 335 %N 8 %I Elsevier %U http://archive.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02549-9/ %R 10.1016/S1631-073X(02)02549-9 %G en %F CRMATH_2002__335_8_705_0
Rambour, Philippe; Seghier, Abdellatif. Exact and asymptotic inverse of the Toeplitz matrix with polynomial singular symbol. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 8, pp. 705-710. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02549-9. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02549-9/
[1] The asymptotic behavior of Toeplitz determinants for generating functions with zeros of integral orders, Math. Nachr., Volume 102 (1981), pp. 79-105
[2] Toeplitz determinants with One Fisher–Hartwig singularity, J. Funct. Anal., Volume 148 (1997), pp. 229-256
[3] Toeplitz determinants: Some applications, theorems, and conjectures, Adv. Chem. Phys., Volume 15 (1968), pp. 333-353
[4] Maximum entropy and the moment problem, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), Volume 1 (1986) no. 1, pp. 47-77
[5] Inverse asymptotique de la matrice de Toeplitz et noyau de Green, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 331 (2000), pp. 857-860
[6] A class of Toeplitz forms and their applications to probability theory, Illinois J. Math., Volume 4 (1960), pp. 253-277
[7] A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, London, 1952
[8] Toeplitz determinants with singular generating functions, Amer. J. Math., Volume 95 (1973), pp. 333-383
Cité par Sources :
