Exact and asymptotic inverse of the Toeplitz matrix with polynomial singular symbol
[Inverses exacts et asymptotiques des matrices de Toeplitz à symbole singulier polynomial]
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 8, pp. 705-710.

À partir de travaux antérieurs et d'une application des polynômes prédicteurs nous obtenons deux types de résultats. Dans une première partie nous proposons une méthode pour obtenir un développement exact des coefficients de matrices de Toeplitz ayant un symbole du type |P|2ff est une fonction régulière positive et P un polynôme ayant ses zéros sur le tore. Dans une deuxième partie nous obtenons des formules asymptotiques pour les coefficients de l'inverse des matrices de Toeplitz dont le symbole est le produit de (1−cosθ)p par une fonction strictement positive. Ces développements utilisent des noyaux de Green associés à des opérateurs différentiels d'ordre 2p. Enfin nous proposons quelques applications aux calculs des traces et des déterminants.

From a previous work and an application of predictive polynomials we obtain two types of results. In a first part exact entries of the Toeplitz matrix are computed in the case where the symbol is |P|2f and where f is a non negative regular function and P a polynomial with all its zeros on 𝕋. In a second part we give an asymptotic expansion for symbols (1−cosθ)pf when f is always a nonnegative regular function. These formulas use Green kernels associated to differential operators of order 2p. Finally, we propose some applications to the computation of traces and determinants.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02549-9
Rambour, Philippe 1 ; Seghier, Abdellatif 1

1 Université de Paris Sud, bâtiment 425, 91405 Orsay cedex, France
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Rambour, Philippe; Seghier, Abdellatif. Exact and asymptotic inverse of the Toeplitz matrix with polynomial singular symbol. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 8, pp. 705-710. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02549-9. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02549-9/

[1] Böttcher, A.; Silbermann, B. The asymptotic behavior of Toeplitz determinants for generating functions with zeros of integral orders, Math. Nachr., Volume 102 (1981), pp. 79-105

[2] Ehrhardt, T.; Silbermann, B. Toeplitz determinants with One Fisher–Hartwig singularity, J. Funct. Anal., Volume 148 (1997), pp. 229-256

[3] Fisher, M.E.; Hartwig, R.E. Toeplitz determinants: Some applications, theorems, and conjectures, Adv. Chem. Phys., Volume 15 (1968), pp. 333-353

[4] Landau, H.J. Maximum entropy and the moment problem, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), Volume 1 (1986) no. 1, pp. 47-77

[5] Rambour, P.; Rinkel, J.-M.; Seghier, A. Inverse asymptotique de la matrice de Toeplitz et noyau de Green, C. R. Acad. Sci. Paris, Volume 331 (2000), pp. 857-860

[6] Spitzer, F.L.; Stone, C.J. A class of Toeplitz forms and their applications to probability theory, Illinois J. Math., Volume 4 (1960), pp. 253-277

[7] Whittaker, E.T.; Watson, G.N. A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, London, 1952

[8] Widom, H. Toeplitz determinants with singular generating functions, Amer. J. Math., Volume 95 (1973), pp. 333-383

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