Complex Analysis
Subextension of plurisubharmonic functions with bounded Monge–Ampère mass
[Sous-extension des fonctions plurisousharmoniques de masse de Monge–Ampère bornée]
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 4, pp. 305-308.

Soit Ω n un domaine hyperconvexe. On désigne par 0 (Ω) la classe des fonctions plurisousharmoniques sur Ω avec valeurs au bord nulle et de masse de Monge–Ampère finie sur Ω. On désigne par (Ω) la classe des fonctions ϕ plurisousharmoniques négatives sur Ω, limite d'une suite décroissante (ϕj) de fonctions de 0 (Ω) telle que sup j Ω ( dd c ϕ j ) n <+. On sait que l'opérateur de Monge–Ampère est bien défini sur (Ω) et que pour une fonction ϕ(Ω), la mesure de Monge–Ampère associée est une mesure de Borel sur Ω de masse totale bornée. Une telle fonction sera dite de masse de Monge–Ampère bornée sur Ω.

On démontre alors que pour tout domaine hyperconvexe Ω ˜,ΩΩ ˜ n et tout ϕ(Ω) il existe une fonction ϕ ˜(Ω ˜) telle que ϕ ˜ϕ sur Ω et Ω ˜ ( dd c ϕ ˜) n Ω ( dd c ϕ) n . Une telle fonction ϕ ˜ est dite sous-extension de ϕ au domaine Ω ˜. A partir de ce résultat, nous déduisons un théorème d'intégrabilté uniforme global pour les classes de fonction plurisousharmoniques sur Ω n ayant des masses de Monge–Ampère uniformément bornées sur Ω.

Let Ω n be a hyperconvex domain. Denote by 0 (Ω) the class of negative plurisubharmonic functions ϕ on Ω with boundary values 0 and finite Monge–Ampère mass on Ω. Then denote by (Ω) the class of negative plurisubharmonic functions ϕ on Ω for which there exists a decreasing sequence (ϕ)j of plurisubharmonic functions in 0 (Ω) converging to ϕ such that sup j Ω ( dd c ϕ j ) n +.

It is known that the complex Monge–Ampère operator is well defined on the class (Ω) and that for a function ϕ(Ω) the associated positive Borel measure is of bounded mass on Ω. A function from the class (Ω) is called a plurisubharmonic function with bounded Monge–Ampère mass on Ω.

We prove that if Ω and Ω ˜ are hyperconvex domains with ΩΩ ˜ n and ϕ(Ω), there exists a plurisubharmonic function ϕ ˜(Ω ˜) such that ϕ ˜ϕ on Ω and Ω ˜ ( dd c ϕ ˜) n Ω ( dd c ϕ) n . Such a function is called a subextension of ϕ to Ω ˜.

From this result we deduce a global uniform integrability theorem for the classes of plurisubharmonic functions with uniformly bounded Monge–Ampère masses on Ω.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00031-1
Cegrell, Urban 1 ; Zeriahi, Ahmed 2

1 Department of Mathematics, University of Umeä, 90187 Umeä, Sweden
2 Université Paul Sabatier, institut de mathématiques, laboratoire Emile Picard, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse, France
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Cegrell, Urban; Zeriahi, Ahmed. Subextension of plurisubharmonic functions with bounded Monge–Ampère mass. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 4, pp. 305-308. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00031-1. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00031-1/

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