Théorie des nombres
Arithmétique d'une famille de corps cubiques
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 5, pp. 371-376.

Dans cette Note, on étudie la famille de polynômes : P(X)=X3nX2n, avec n=3sp1pts=0 ou 1 et où les pi pour 1⩽it sont des nombres premiers deux à deux distincts et distincts de 3 et où (4n2+27)/9s est sans facteurs carrés. Pour cette famille, on détermine les invariants arithmétiques du corps de nombres K=(α), avec α l'unique racine réelle du polynôme P(X), et on trouve les résultats suivants : O K =[α] est l'anneau des entiers de K, dK=−n2(4n2+27) est le discriminant de K ; ε=α2+1 est l'unité fondamentale de OK et RK=Log(α2+1) est le régulateur de K.

In this Note, we study the family of polynomials: P(X)=X3nX2n, with n=3sp1pt, where s=0 or 1 and where the pi, for 1⩽it, are distinct prime numbers and all different from 3, and (4n2+27)/9s is squarefree. For this family, we determine the arithmetic invariants of the number field K=(α), where α is the only real root of the polynomial P(X), and we find the following results: O K =[α] is the ring of integers of K, dK=−n2(4n2+27) is the discriminant of K; ε=α2+1 is the fundamental unit of OK and RK=Log(α2+1) is the regulator of K.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00063-3
Lahlou, Ouafae 1 ; El Hassani Charkani, Mohamed 1

1 Département de mathématiques, faculté des sciences Dhar-Mahraz, BP 1796, Fes, Maroc
@article{CRMATH_2003__336_5_371_0,
     author = {Lahlou, Ouafae and El Hassani Charkani, Mohamed},
     title = {Arithm\'etique d'une famille de corps cubiques},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {371--376},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {336},
     number = {5},
     year = {2003},
     doi = {10.1016/S1631-073X(03)00063-3},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00063-3/}
}
TY  - JOUR
AU  - Lahlou, Ouafae
AU  - El Hassani Charkani, Mohamed
TI  - Arithmétique d'une famille de corps cubiques
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2003
SP  - 371
EP  - 376
VL  - 336
IS  - 5
PB  - Elsevier
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00063-3/
DO  - 10.1016/S1631-073X(03)00063-3
LA  - fr
ID  - CRMATH_2003__336_5_371_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Lahlou, Ouafae
%A El Hassani Charkani, Mohamed
%T Arithmétique d'une famille de corps cubiques
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2003
%P 371-376
%V 336
%N 5
%I Elsevier
%U http://archive.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00063-3/
%R 10.1016/S1631-073X(03)00063-3
%G fr
%F CRMATH_2003__336_5_371_0
Lahlou, Ouafae; El Hassani Charkani, Mohamed. Arithmétique d'une famille de corps cubiques. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 5, pp. 371-376. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00063-3. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00063-3/

[1] B. Adam, Développements périodiques de familles paramétrées de nombres algébriques Application à la recherche d'unités, Thèse de doctorat, Univ. Metz, 1995

[2] Archinard, G. Extensions cubiques cycliques de dont l'anneau des entiers est monogène, Enseign. Math., Volume 20 (1974) no. 2, pp. 179-191

[3] Bourbaki, N. Algèbre, Masson, 1981 (Chapitres 4 à 7)

[4] Cohen, H. A Course in Computational Algebraic Number Theory, Vol. 138, Springer-Verlag, 1993

[5] Dedekind, R. Uber den Zussamenhang zwischen der Theorie der Ideals und der Theorie der hoheren cyclotimy index, Abh. Akad. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. Kl., Volume 23 (1878), pp. 1-23

[6] Dummit, D.S.; Kisilevsky, H. Indices in cyclic cubic fields, Number Theory and Algebra, Academic Press, New York, 1977, pp. 29-42

[7] A. Farhane, O. Lahlou, Sur les points extrémaux dans un ordre cubique, à paraı̂tre

[8] Fléckinger, V. Monogénéité de l'anneau des entiers de certains corps de classes de rayon, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), Volume 38 (1988) no. 1, pp. 17-57

[9] Gras, M.N. Sur les corps cubiques cycliques dont l'anneau des entiers est monogène, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. A, Volume 278 (1974), pp. 59-62

[10] Gras, M.N. -bases d'entiers 1,θ,θ 2 ,θ 3 dans les extensions cycliques de degré 4 de , Publ. Math. Fac. Sci. Besançon, Théorie des Nombres (1980/1981) (11 pp)

[11] Gras, M.N. Non monogénéité des anneaux d'entiers des extensions cycliques de de degré premier l⩾5, J. Number Theory, Volume 23 (1986) no. 3, pp. 347-353

[12] Györy, K. On discriminants and indices of integers of an algebraic number field, J. Reine Angew. Math., Volume 324 (1981), pp. 114-126

[13] K. Györy, Corps de nombres algébriques d'anneau d'entiers monogène, in : Séminaire Delange–Pisot–Poitou, 20eme année, 1978/79, Théorie des nombres. Exp. n° 26, 7 p

[14] K. Györy, Sur les générateurs des ordres monogènes des corps de nombres algébriques, in : Séminaire de Théorie des nombres, 1983/84, Univ. Bordeaux 1, Talence, Exp. n° 32, 12 p

[15] Janusz, G.J. Algebric Number Theory, Academic Press, New York, 1973

[16] K. Komatsu, Integral bases in algebraic, number fields, Tokyo

[17] Levesque, C.; Rhin, G. Two families of periodic Jacobi algorithms with period lengths going to infinity, J. Number Theory, Volume 37 (1991) no. 2, pp. 173-180

[18] Nakahara, T. On the indices and integral bases of non-cyclic but Abelian biquadratic fields, Arch. Math., Volume 41 (1983) no. 6, pp. 504-507

[19] F. Tanoe, Monogénéité des corps biquadratiques, Thèse de doctorat, Univ. Franche-Comté, 1990

[20] G.F. Voronoi, On a generalization of the algoritm of continued fractions, Doctoral Dissertation, Warsaw, 1896 (en Russe)

[21] Williams, H.C. The period length of Voronoi's algorithm for certain cubic orders, Publ. Math. Debrecen, Volume 37 (1990), pp. 245-265

Cité par Sources :