Mathematical Problems in Mechanics/Partial Differential Equations
A new model of Saint Venant and Savage–Hutter type for gravity driven shallow water flows
[Un nouveau modèle de type Saint Venant et Savage–Hutter pour les écoulements gravitaires en eaux peu profondes]
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 6, pp. 531-536.

Nous introduisons un nouveau modèle pour les écoulements en eaux peu profondes avec fond variable. Un prototype est l'équation de Saint Venant pour les rivières et zones côtières, qui est valable pour des pentes faibles. Un modèle amélioré, dû à Savage–Hutter, est valable pour de petites variations de pente. Nous introduisons un nouveau modèle valable quelle que soit la topographie, et qui a les propriétés (i) de fournir une inégalité de dissipation d'énergie, (ii) d'être une solution hydrostatique exacte des équations d'Euler. La difficulté que nous résolvons est la dépendance du champ de vitesse dans la variable normale au fond, que nous sommes capables d'établir exactement. Les applications visées sont le calcul numérique des écoulements granulaires (par exemple avalanches de débris) pour lequel un tel modèle est particulièrement adapté.

We introduce a new model for shallow water flows with non-flat bottom. A prototype is the Saint Venant equation for rivers and coastal areas, which is valid for small slopes. An improved model, due to Savage–Hutter, is valid for small slope variations. We introduce a new model which relaxes all restrictions on the topography. Moreover it satisfies the properties (i) to provide an energy dissipation inequality, (ii) to be an exact hydrostatic solution of Euler equations. The difficulty we overcome here is the normal dependence of the velocity field, that we are able to establish exactly. Applications we have in mind concern, in particular, computational aspects of flows of granular material (for example in debris avalanches) where such models are especially relevant.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00117-1
Bouchut, François 1 ; Mangeney-Castelnau, Anne 2 ; Perthame, Benoı̂t 1, 3 ; Vilotte, Jean-Pierre 2

1 Département de mathématiques et applications, CNRS & École normale supérieure, 45, rue d'Ulm, 75230 Paris cedex 05, France
2 Département de modélisation physique et numérique, IPGP, 4, pl. Jussieu, 75232 Paris cedex 05, France
3 INRIA Rocquencourt, projet M3N, domaine de Voluceau, BP 105, 78153 Le Chesnay cedex, France
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