Forme normale pour NLS en dimension quelconque

Bambusi, Dario; Grébert, Benoît

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 6, pp. 409-414.

Nous considérons l'équation de Schrödinger non linéaire

$$-\mathrm{i}{u}_t=-\Delta \mathrm{u}+\mathrm{V}*\mathrm{u}+\mathrm{g}(\mathrm{u},\overline{u})$$

avec des conditions aux bords périodiques dans ${[-\pi ,\pi ]}^d,\mathrm{d}⩾1$. La fonction g est analytique dans les deux variables et d'ordre au moins 2 ; le potentiel V est dans L². Nous démontrons que, sous une hypothèse de non résonances générique pour V dans une certaine classe, il existe pour tout entier M une transformation canonique qui met l'Hamiltonien sous forme normale de Birkhoff à un reste d'ordre M près. La transformation canonique est bien définie dans un petit voisinage de l'origine de tout espace de Sobolev d'ordre assez grand. D'un point de vue dynamique, ceci signifie en particulier que si la donnée initiale est de norme plus petite que ε, la solution reste plus petite que 2ε pour des temps t de l'ordre de ε^−(M−1). De plus, pendant le même laps de temps, la solution reste proche d'un tore de dimension infinie.

We consider the nonlinear Schödinger equation

$$-\mathrm{i}{u}_t=-\Delta \mathrm{u}+\mathrm{V}*\mathrm{u}+\mathrm{g}(\mathrm{u},\overline{u})$$

with periodic boundary conditions on ${[-\pi ,\pi ]}^d,\mathrm{d}⩾1;g$ is analytic and $\mathrm{g}(0,0)=\mathrm{Dg}(0,0)=0;V$ is a potential in L². Under a nonresonance condition which is fulfilled for most Vs we prove that, for any integer M there exists a canonical transformation that puts the Hamiltonian in Birkhoff normal form up to a reminder of order M. The canonical tranformation is well defined in a neighbourhood of the origin of any Sobolev space of sufficiently high order. From the dynamical point of view this means in particular that if the initial data is smaller than ε, the solution remains smaller than 2ε for all times t smaller than ε^−(M−1). Moreover, for the same times, the solution is close to an infinite dimensional torus.

[1] Bambusi, D. Birkhoff normal form for some nonlinear PDEs, Commun. Math. Phys., Volume 234 (2003), pp. 253-285

[2] D. Bambusi, Averaging theorem for quasilinear Hamiltonian PDEs, Ann. Inst. H. Poincaré, in press

[3] Bourgain, J. Construction of approximative and almost periodic solutions of perturbed linear Schrödinger and wave equation, GAFA, Volume 6 (1996), pp. 201-230

[4] Bourgain, J. Quasi periodic solutions of Hamiltonian perturbations of 2D linear Schrödinger equation, Ann. of Math., Volume 148 (1998), pp. 363-439

[5] Bourgain, J. On diffusion in high dimensional Hamiltonian systems and PDE, J. Anal. Math., Volume 80 (2000), pp. 1-35

[6] J. Bourgain, Green functions estimates for lattice Schrödinger operators and applications, Preprint, 2003

[7] Craig, W. Problèmes de petits diviseurs dans les équations aux dérivées partielles, Panorama et Synthèses, 9, SMF, Paris, 2000

[8] Craig, W.; Wayne, C.E. Newton's method and periodic solutions of nonlinear wave equations, Comm. Pure Appl. Math., Volume 46 (1993), pp. 1409-1501

[9] Hamilton, R.S. The inverse function theorem of Nash and Moser, Bull. Amer. Math. Soc., Volume 7 (1982), pp. 65-222

[10] Kuksin, S.B. Nearly Integrable Infinite-Dimensional Hamiltonian Systems, Lecture Notes in Math., 1556, Springer, 1994

[11] Kuksin, S.B. Analysis of Hamiltonian PDEs, Oxford Lecture Ser. Math. Appl., 19, Oxford University Press, Oxford, 2000