On the energy exchange between resonant modes in nonlinear Schrödinger equations

Nous considérons l'équation de Schödinger non linéaire

$$i{\psi }_t=-{\psi }_{xx}\pm 2\cos 2x{\left|\psi \right|}^2\psi ,x\in S^1,t\in ℝ$$

et nous montrons la solution de cette équation ayant pour donnée initiale $\psi (0,x)=ϵ\left(A\exp \right(ix)+B\exp (-ix\left)\right)$ avec ε petit, va échanger périodiquement de l'énergie entre les modes de Fourier $e^{ix}$ et $e^{-ix}$ dès que $A^2\ne B^2$. Cet effet de battement, dont la période est de l'ordre de ${ϵ}^{-2}$, est mis en évidence pour des temps de l'ordre de ${ϵ}^{-5/2}$. Nous présentons aussi quelques généralisations.

We consider the nonlinear Schrödinger equation

$$i{\psi }_t=-{\psi }_{xx}\pm 2\cos 2x{\left|\psi \right|}^2\psi ,x\in S^1,t\in ℝ$$

and we prove that the solution of this equation, with small initial datum $\psi (0,x)=ϵ\left(A\exp \right(ix)+B\exp (-ix\left)\right)$, will periodically exchange energy between the Fourier modes $e^{ix}$ and $e^{-ix}$ as soon as $A^2\ne B^2$. This beating effect is described up to time of order ${ϵ}^{-5/2}$ while the frequency is of order ${ϵ}^2$. We also discuss some generalizations.