Régularité dans une équation de Schrödinger avec potentiel singulier à distance finie et à l'infini

Baudouin, Lucie; Kavian, Otared; Puel, Jean-Pierre

doi:10.1016/j.crma.2003.10.011

Équations aux dérivées partielles

Régularité dans une équation de Schrödinger avec potentiel singulier à distance finie et à l'infini

Présenté par : Pierre-Louis Lions

Baudouin, Lucie ¹ ; Kavian, Otared ¹ ; Puel, Jean-Pierre ¹

¹ Laboratoire de mathématiques appliquées, Université de Versailles St Quentin, 45, avenue des États Unis, 78035 Versailles cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 11, pp. 705-710.

Résumé
Abstract

Nous étudions dans cette Note l'équation de Schrödinger i∂_tu+Δu+V₀u+V₁u=0 sur $ℝ^{3} \times (0, T)$ avec pour condition initiale $u_{0} \in {v \in H^{2} (ℝ^{3})$ , $\int_{ℝ^{3}} {(1 + | x |}^{2})^{2} {| v |}^{2} d x < + \infty}$ où V₀ est un potentiel singulier à distance finie, de type coulombien et où V₁, potentiel dont dérive un champ électrique, peut être non borné. Les deux potentiels peuvent dépendre des variables d'espace et de temps. Nous démontrons que cette équation d'évolution est bien posée et que la régularité de la condition initiale est conservée par la solution du problème. Les détails de la démonstration seront donnés ailleurs (Baudouin et al., à paraître).

In this Note we study the Schrödinger equation i∂_tu+Δu+V₀u+V₁u=0 on $ℝ^{3} \times (0, T)$ with initial condition $u_{0} \in {v \in H^{2} (ℝ^{3})$ , $\int_{ℝ^{3}} {(1 + | x |}^{2})^{2} {| v |}^{2} d x < + \infty}$ where V₀ is a coulombian potential, singular at finite distance and V₁ is an electric potential, possibly unbounded. Both of them may depend on space and time variables. We prove that this problem is well-posed and that the regularity of the initial data is conserved for the solution. The detailed proof will be given elsewhere (Baudouin et al., in press).

Reçu le : 2003-06-06
Accepté le : 2003-10-07
Publié le : 2003-11-07

DOI : 10.1016/j.crma.2003.10.011

Affiliations des auteurs :

Baudouin, Lucie ¹ ; Kavian, Otared ¹ ; Puel, Jean-Pierre ¹

¹ Laboratoire de mathématiques appliquées, Université de Versailles St Quentin, 45, avenue des États Unis, 78035 Versailles cedex, France

@article{CRMATH_2003__337_11_705_0,
     author = {Baudouin, Lucie and Kavian, Otared and Puel, Jean-Pierre},
     title = {R\'egularit\'e dans une \'equation de {Schr\"odinger} avec potentiel singulier \`a distance finie et \`a l'infini},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {705--710},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {337},
     number = {11},
     year = {2003},
     doi = {10.1016/j.crma.2003.10.011},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.10.011/}
}

TY  - JOUR
AU  - Baudouin, Lucie
AU  - Kavian, Otared
AU  - Puel, Jean-Pierre
TI  - Régularité dans une équation de Schrödinger avec potentiel singulier à distance finie et à l'infini
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2003
SP  - 705
EP  - 710
VL  - 337
IS  - 11
PB  - Elsevier
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.10.011/
DO  - 10.1016/j.crma.2003.10.011
LA  - fr
ID  - CRMATH_2003__337_11_705_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Baudouin, Lucie
%A Kavian, Otared
%A Puel, Jean-Pierre
%T Régularité dans une équation de Schrödinger avec potentiel singulier à distance finie et à l'infini
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2003
%P 705-710
%V 337
%N 11
%I Elsevier
%U http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.10.011/
%R 10.1016/j.crma.2003.10.011
%G fr
%F CRMATH_2003__337_11_705_0

Baudouin, Lucie; Kavian, Otared; Puel, Jean-Pierre. Régularité dans une équation de Schrödinger avec potentiel singulier à distance finie et à l'infini. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 11, pp. 705-710. doi : 10.1016/j.crma.2003.10.011. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.10.011/

Bibliographie
Cité par

[1] L. Baudouin, O. Kavian, J.-P. Puel, Regularity for a Schrödinger equation with a potential singular at finite distance and at infinity and application to a bilinear optimal control problem, à paraître

[2] Cancès, E.; Le Bris, C. On the time-dependent Hartree–Fock equations coupled with a classical nuclear dynamics, Math. Models Methods Appl. Sci., Volume 9 (1999) no. 7, pp. 963-990

[3] Cancès, E.; Le Bris, C.; Pilot, M. Contrôle optimal bilinéaire d'une equation de Schrödinger, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 330 (2000), pp. 567-571

[4] Yajima, K. Existence of solutions for Schrödinger evolution equations, Comm. Math. Phys., Volume 110 (1987), pp. 415-426

[5] Simon, J. Compact sets in the space L^p(0,T;B), Ann. Mat. Pura Appl. (4), Volume 146 (1987), pp. 65-96

[6] Strichartz, R. Restrictions of Fourier transforms to quadratic surfaces and decay of solutions of wave equations, Duke Math. J., Volume 44 (1977), pp. 705-714

Cité par Sources :