On énonce quelques propriétés simples d'une configuration de N corps de masses non toutes égales vérifiant les équations de Newton et effectuant un mouvement de type « chorégraphie », i.e. se suivant sur la même courbe à intervalles de temps égaux. On en déduit qu'en toute dimension d'espace, les masses d'une chorégraphie sont égales dans le cas où le potentiel est logarithmique. Un raisonnement analogue permet de prouver que les vorticités d'une chorégraphie sont égales pour un système de N tourbillons vérifiant les équations de Helmholtz (Philos. Mag. 33 (1858) 485–512). On donne une généralisation de ce résultat à un potentiel quelconque. En particulier, au cours d'une chorégraphie à masses non toutes égales, le rapport entre la plus petite et la plus grande des distances mutuelles est majoré par une constante indépendante des masses.
We state some simple properties of a configuration of N bodies whose masses are not all equal, and whose motion is a ‘choreography’. In such a solution of Newton's equations, the bodies chase each other around the same curve, with the same phase shift between consecutive bodies. It follows from those properties that for any dimension of space, the masses of a choreography are the same for a logarithmic potential. A similar argument shows that the vorticities of a choreography are the same for N vortices which satisfy Helmholtz's equations (Philos. Mag. 33 (1858) 485–512). We prove a more general result for any potential. In particular, for a choreography with distinct masses, the ratio between the smallest and the largest mutual distances is bounded by a constant which does not depend on the masses.
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Celli, Martin. Sur les distances mutuelles d'une chorégraphie à masses distinctes. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 11, pp. 715-720. doi : 10.1016/j.crma.2003.10.014. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.10.014/
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