We introduce and analyze curvature bounds for metric measure spaces , based on convexity properties of the relative entropy . For Riemannian manifolds, if and only if for all . We define a complete separable metric on the family of all isomorphism classes of normalized metric measure spaces. It has a natural interpretation in terms of mass transportation. Our lower curvature bounds are stable under -convergence. We also prove that the family of normalized metric measure spaces with doubling constant is closed under -convergence. Moreover, the subfamily of spaces with diameter is compact.
Nous introduisons et nous étudions les bornes de la courbure pour des espaces métriques mesurés , en utilisant des propriétés de convexité de l'entropie relative . Pour les variétés riemanniennes, , si et seulement si pour tout . Nous définissons une métrique complète, séparable sur la famille des classes d'isomorphie d'espaces métriques mesurés, normalisés. Cette métrique a une interprétation naturelle dans le contexte du transport de masse. Nos bornes inférieures de la courbure sont stables pour la -convergence. Nous démontrons aussi que, pour la -convergence, la famille des espaces métriques mesurés, normalisés, avec une constante de doublement est fermée et, de plus, la sous-famille, dont les élements ont un diamètre est compacte.
Accepted:
Published online:
@article{CRMATH_2005__340_3_235_0, author = {Sturm, Karl-Theodor}, title = {Generalized {Ricci} bounds and convergence of metric measure spaces}, journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique}, pages = {235--238}, publisher = {Elsevier}, volume = {340}, number = {3}, year = {2005}, doi = {10.1016/j.crma.2004.11.022}, language = {en}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.11.022/} }
TY - JOUR AU - Sturm, Karl-Theodor TI - Generalized Ricci bounds and convergence of metric measure spaces JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2005 SP - 235 EP - 238 VL - 340 IS - 3 PB - Elsevier UR - http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.11.022/ DO - 10.1016/j.crma.2004.11.022 LA - en ID - CRMATH_2005__340_3_235_0 ER -
%0 Journal Article %A Sturm, Karl-Theodor %T Generalized Ricci bounds and convergence of metric measure spaces %J Comptes Rendus. Mathématique %D 2005 %P 235-238 %V 340 %N 3 %I Elsevier %U http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.11.022/ %R 10.1016/j.crma.2004.11.022 %G en %F CRMATH_2005__340_3_235_0
Sturm, Karl-Theodor. Generalized Ricci bounds and convergence of metric measure spaces. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 3, pp. 235-238. doi : 10.1016/j.crma.2004.11.022. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.11.022/
[1] A Riemannian interpolation inequality à la Borell, Brascamb and Lieb, Invent. Math., Volume 146 (2001), pp. 219-257
[2] Monge–Kantorovitch measure transportation and Monge–Ampère equation on Wiener space, Probab. Theory Related Fields, Volume 128 (2004) no. 3, pp. 347-385
[3] Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1999 (With appendices by M. Katz, P. Pansu and S. Semmes)
[4] M.-K. von Renesse, K.T. Sturm, Transport inequalities, gradient estimates, entropy and Ricci curvature, Commun. Pure Appl. Math. (2004), in press
[5] K.T. Sturm, Convex functionals of probability measures and nonlinear diffusions on manifolds, J. Math. Pure Appl. (2005), in press
[6] K.T. Sturm, On the geometry of metric measure spaces, SFB611 – Preprint 203 (2004), University Bonn
[7] Topics in Mass Transportation, Grad. Stud. Math., American Mathematical Society, 2003
Cited by Sources: