no. 8
Probability Theory/Statistics
About the optimal density associated to the chiral index of a sample from a bivariate distribution
[À propos de la densité optimale associée à l'indice chiral d'un échantillon d'une distribution bivariée]

Présenté par : Paul Deheuvels

Coppersmith, Don1 ; Petitjean, Michel2
1 IBM TJ Watson Research Center, Yorktown Heights, New York 10598, USA
2 ITODYS (CNRS, UMR 7086, université Paris 7), 1, rue Guy de la Brosse, 75005 Paris, France
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 8, pp. 599-604.

Nous montrons que la forme quadratique complexe z′Pz, où z est un vecteur donné dans Cn et z′ est son transposé, et P est une matrice de permutation, est une combinaison convexe des formes quadratiques z′Pσz, où les Pσ sont des matrices de permutation symétriques. On en déduit que la densité de probabilité optimale associée à l'indice chiral d'un échantillon d'une distribution bivariée est symétrique. Ce résultat est utilisé pour localiser la borne supérieure de l'indice chiral d'une distribution bivariée quelconque dans l'intervalle [1−1/π,1−1/2π].

The complex quadratic form z′Pz, where z is a fixed vector in Cn and z′ is its transpose, and P is any permutation matrix, is shown to be a convex combination of the quadratic forms z′Pσz, where Pσ denotes the symmetric permutation matrices. We deduce that the optimal probability density associated to the chiral index of a sample from a bivariate distribution is symmetric. This result is used to locate the upper bound of the chiral index of any bivariate distribution in the interval [1−1/π,1−1/2π].

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DOI : 10.1016/j.crma.2005.03.011
Coppersmith, Don 1 ; Petitjean, Michel 2

1 IBM TJ Watson Research Center, Yorktown Heights, New York 10598, USA
2 ITODYS (CNRS, UMR 7086, université Paris 7), 1, rue Guy de la Brosse, 75005 Paris, France 
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Coppersmith, Don; Petitjean, Michel. About the optimal density associated to the chiral index of a sample from a bivariate distribution. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 8, pp. 599-604. doi : 10.1016/j.crma.2005.03.011. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.03.011/

[1] Petitjean, M. About second kind continuous chirality measures. 1. Planar sets, J. Math. Chem., Volume 22 (1997), pp. 185-201

[2] Petitjean, M. Chiral mixtures, J. Math. Phys., Volume 43 (2002), pp. 4147-4157

[3] Petitjean, M. Chirality and symmetry measures: a transdisciplinary review, Entropy, Volume 5 (2003), pp. 271-312 http://www.mdpi.net/entropy

[4] Petitjean, M. From shape similarity to shape complementarity: toward a docking theory, J. Math. Chem., Volume 35 (2004), pp. 147-158

[5] Rachev, S.T. Probability Metrics and the Stability of Stochastic Models, Wiley, New York, 1991

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