[Schéma à deux grilles pour le problème de Navier–Stokes instationnaire totalement discrétisé par éléments finis]
Dans cette Note, nous étudions un schéma à deux grilles pour le problème de Navier–Stokes instationnaire totalement discrétisé par une méthode d'éléments finis en espace. Dans la première étape, le problème non-linéaire est discrétisé en espace et en temps sur une grille grossière de pas d'espace H avec un pas de temps k. Puis dans la deuxième étape le problème est discrétisé en espace sur une grille fine de pas d'espace h et le même pas de temps autour de la vitesse calculée à l'étape précédente. L'idée de la méthode à deux grilles est que, sous des hypothèses adéquates, la contribution de à l'erreur dans le terme non-linéaire en espace, est mesurée en norme en espace et en temps et a un ordre plus élevé que si elle était mesurée en norme . Nous présentons les résultats suivants : si alors l'erreur globale de l'algorithme à deux grilles est de l'ordre de h, résultat identique à celui de la résolution directe du problème non-linéaire sur une grille fine.
In this Note, we study a two-grid scheme fully discrete in time and space for solving the Navier–Stokes system. In the first step, the fully non-linear problem is discretized in space on a coarse grid with mesh-size H and time step k. In the second step, the problem is discretized in space on a fine grid with mesh-size h and the same time step, and linearized around the velocity computed in the first step. The two-grid strategy is motivated by the fact that under suitable assumptions, the contribution of to the error in the non-linear term, is measured in the norm in space and time, and thus has hopefully a higher-order than if it were measured in the norm in space. We present the following results: if then the global error of the two-grid algorithm is of the order of h, the same as would have been obtained if the non-linear problem had been solved directly on the fine grid.
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Abboud, Hyam; Girault, Vivette; Sayah, Toni. Two-grid finite element scheme for the fully discrete time-dependent Navier–Stokes problem. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 341 (2005) no. 7, pp. 451-456. doi : 10.1016/j.crma.2005.07.019. http://archive.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.07.019/
[1] A stable finite element for the Stokes equations, Calcolo, Volume 21 (1984), pp. 337-344
[2] Basic Error Estimates for Elliptic Problems, Handbook of Numerical Analysis, vol. II, North-Holland, Amsterdam, 1991
[3] Two-grid finite-element schemes for the transient Navier–Stokes equations, M2AN, Volume 35 (2001), pp. 945-980
[4] F. Hecht, O. Pironneau, FreeFem++, see: http://www.freefem.org
[5] The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow, Gordon & Breach, New York, 1963 (in Russian, 1961; First English translation)
[6] Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites Non Linéaires, Dunod, Paris, 1969
[7] Theory and Numerical Analysis of the Navier–Stokes Equations, North-Holland, 1977
Cité par Sources :
